Навигация
Метод Гаусса с выбором главного элемента
13057
знаков
0
таблиц
5
изображений
2. Метод Гаусса с выбором главного элемента
Метод Гаусса настолько универсален, что для некоторых систем получаются практически «плохие» результаты, поэтому разрабатываются различные хитрые выходы из ситуации. В случае, когда некоторые коэффициенты матрицы системы близки между собой, как известно относительные погрешности сильно возрастают при вычитании, поэтому классический метод Гаусса даёт большие погрешности. Чтобы обойти эту трудность, стараются в прямом ходе Гаусса выбрать то уравнение, у которого коэффициент при 
максимален и в качестве основного «игрока» выбирают именно это уравнение, тем самым обходя трудности вычитания близких чисел (если это возможно). Далее, когда нужно обнулить все коэффициенты переменной 
, кроме одного уравнения – этим особым уравнением опять выбирают то уравнение, у которого коэффициент при максимальный и т.д., пока не получим треугольную матрицу.
Обратный ход происходит так же, как и в классическом методе Гаусса.
3. Оценка погрешности при решении системы линейных уравнений
Для того, чтобы оценить погрешности вычислений решения системы линейных уравнений, нам нужно ввести понятия соответствующих норм матриц.
Прежде всего, вспомним три наиболее часто употребляемые нормы для вектора 
:
(11)
(Евклидова норма) (12)
(Чебышевская норма) (13)
Для всякой нормы векторов можно ввести соответствующую норму матриц:
(14)
которая согласована с нормой векторов в том смысле, что
(15)
Можно показать, что для трёх приведённых выше случаев нормы матрицы 
задаются формулами:
(16)
(17)
(18)
Здесь 
- являются сингулярными числами матрицы , т.е. это положительные значения квадратных корней 
- матрицы 
(которая является положительно-определённой матрицей, при 
).
Для вещественных симметричных матриц 
- где 
- собственные числа матрицы .
Абсолютная погрешность решения системы:
(19)
где - матрица системы, 
- матрица правых частей, оценивается нормой:
(20)
Относительная погрешность оценивается по формуле:
(21)
где 
.
4. Итерационные методы решения систем линейных уравнений
Рассмотрим систему линейных уравнений, которая плохо решается методами Гаусса. Перепишем систему уравнений в виде:
(22)
где 
- заданная числовая матрица 
-го порядка, 
- заданный постоянный вектор.
Похожие работы
... . При этом собственно нахождение обратной матрицы – процесс достаточно трудоемкий и его программирование вряд ли можно назвать элементарной задачей. Поэтому на практике чаще применяют численные методы решения систем линейных уравнений. К численным методам решения систем линейных уравнений относят такие как: метод Гаусса, метод Крамера, итеративные методы. В методе Гаусса, например, работают над ...
... , с помощью которых в последующем решение систем линейных уравнений станет намного проще, понятнее и быстрее. Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы решения систем линейных уравнений для применения их на практике. Для достижения любой цели необходимо выполнить какие-то определенные задачи. Мне нужно выполнить следующие задачи: исследовать литературу по темам матриц, ...
... , придумать “свой метод", догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д. Если работа в поисках более рациональный способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки будет успешна, то практическая значимость будет очевидна. Список использованной литературы 1. Алгебра 8 класс. Н.Я. Виленкин. Москва, ...
... 10.4 9.7 9.7 -8.4 Результат вычислений по методу Гаусса x1 = 5.0000000000E+00 x2 = -4.0000000000E+00 x3 = 3.0000000000E+00 x4 = -2.0000000000E+00 2.2 Программа решения систем линейных уравнений по методу Зейделя 2.2.1. Постановка задачи. Требуется решить систему линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами вида a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 , a21x2 + ...
0 комментариев