Точечные оценки

1.3    Точечные оценки

Одной из задач математической статистики явля­ется оценка неизвестных параметров выбранной параметриче­ской модели.

Очень часто в приложениях рассматривают параметриче­скую модель. В этом случае предполагают, что закон рас­пределения генеральной совокупности принадлежит множеству

 , где вид функции распределения задан, а век­тор параметровнеизвестен. Требуется найти оценку дляили некоторой функции от него (например, ма­тематического ожидания, дисперсии) по случайной выборке  из генеральной совокупности X.

Например, предположим, что масса X детали имеет нор­мальный закон распределения, но его параметры неизвестны. Нужно найти приближенное значение параметров по результатам наблюдений х, …, х_п, полученным в экспери­менте (по реализации случайной выборки).

Как уже отмечалось , в математической статисти­ке существуют два вида оценок: точечные и интервальные. В этой главе будут рассмотрены точечные оценки, а интерваль­ным оценкам посвящена следующая глава.

1.3.1. Состоятельные, несмещенные и эффективные оценки

Пусть— случайная выборка из генеральной совокупности X, функция распределениякоторой известна, а— неизвестный параметр, т.е. рассматривается параметрическая модель(для простоты изложения будем считать пока, что— скаляр).

Требуется построить статистику, которую можно было бы принять в качестве точечной оценки параметра.

Интуитивно ясно, что в качестве оценки параметрамож­но использовать различные статистики. Например, в качестве точечной оценки дляможно предложить такие статистики:

Какую же из этих статистик предпочесть? В общем случае нужно дать ответ на вопрос: какими свойствами должна обла­дать статистика, чтобы она была в неко­тором смысле наилучшей оценкой параметра в? Рассмотрению требований к оценкам и методам их нахождения посвящена на­стоящая глава.

Заметим, что в дальнейшем, как правило, будем говорить об оценке параметрапараметрической модели, хотя все ска­занное можно перенести и на функцию от в.

Определение 1.3.1.1 Статистикуназывают состоятельной оценкой параметра, если с ростом объема выборки п она сходится по вероятности к оцениваемому пара­метру , т.е.

Иными словами, для состоятельной оценкиотклонение ее отна величину е и более становится маловероятным при большом объеме выборки. Это свойство оценки является очень важным, ибо несостоятельная оценка практически беспо­лезна. Однако следует отметить, что на практике приходится оценивать неизвестные параметры и при малых объемах вы­борки.

Естественным является то требование, при выполнении ко­торого оценка не дает систематической погрешности в сторону завышения (или занижения) истинного значения параметра.

Определение 1.3.1.2. Статистикуназывают несмещенной оценкой параметра, если ее математическое ожи­дание совпадает с, т.е.для любого фиксирован­_испер.

Если оценка является смещенной (т.е. последнее равенство не имеет места), то величина смещения Как мы увидим далее, смещение оценки часто можно устра­нить, введя соответствующую поправку.

Говорят также, что оценкаявляется асимптотически несмещенной, если приона сходится по вероятности к своему математическому ожиданию, т.е. для любого

 Предположим, что имеются две несмещенные оценки и для параметра. Если дисперсииудовлетворяют условию

(1.3.1)

для любого фиксированного пи, то следует предпочесть оценку, поскольку разброс статистики относительно параметраменьше, чем разброс статистики

Определение 1.3.1.3. Если в некотором классе несмещенных оценок параметра, имеющих конечную дисперсию, существу­ет такая оценка, что неравенство (2.1) выполняется для всех оценокиз этого класса, то говорят, что оценка  является эффективной в данном классе оценок.

оценивать неизвестные параметры и при малых объемах вы­борки.

Естественным является то требование, при выполнении ко­торого оценка не дает систематической погрешности в сторону завышения (или занижения) истинного значения параметра.

Определение 1.3.1.4. Статистикуназывают несмещенной оценкой параметра, если ее математическое ожи­дание совпадает с, т.е.для любого фиксирован­н_испер

Если оценка является смещенной (т.е. последнее равенство не имеет места), то величина смещения Как мы увидим далее, смещение оценки часто можно устра­нить, введя соответствующую поправку.

Говорят также, что оценкаявляется асимптотически несмещенной, если приона сходится по вероятности к своему математическому ожиданию, т.е. для любого

       Предположим, что имеются две несмещенные оценки и для параметра. Если ди_исперсии

удовлетворяют условию

(1.3.2)

для любого фиксированного пи, то следует предпочесть оценку, поскольку разброс статистикиотносительно параметраменьше, чем разброс статистики

Определение. Если в некотором классе несмещенных оценок параметра, имеющих конечную дисперсию, существу­ет такая оценка, что неравенство (3.2) выполняется для всех оценокиз этого класса, то говорят, что оценка  является эффективной в данном классе оценок.

Иными словами, дисперсия эффективной оценки параметра в некотором классе является минимальной среди дисперсий всех оценок из рассматриваемого класса несмещенных оценок.

Замечание 1.3.1.1. Эффективную оценку в классе всех несме­щенных оценок будем называть эффективной оценкой, не добавляя слов „в классе несмещенных оценок".

Замечание 1.3.1.2. В литературе по математической ста­тистике при рассмотрении параметрических моделей вместо термина «эффективная оценка» классе всех несмещенных оце­нок используют и другие: «несмещенная оценка с минимальной дисперсией», «оптимальная оценка». Теорема 1.3.1. Оценка

(выборочное среднее) математического ожидания

генеральной совокупности X с конечной дисперсией является несмещенной, состоятельной и эффективной в классе всех ли­нейных оценок, т.е. оценок вида

где, для произвольнойпараметрической модели.

 Напомним, что элементы случайной выборки

 являются независимыми случайными величинами и распре­деленными так же, как и сама генеральная совокупность X. Следовательно,

Похожие работы

Математика (шпаргалка для экзамена)

Скачать

44583

0

6

... неравенство |xi|/t>=1. Учитывая это неравенство получаем: P{|X|>=t}=сумма по i: |xi|>=t pi <=сумма по i:|xi|>=t |xi|/t pi<=сумма по i:|xi|>=t |xi|/t pi+сумма по i:|xi|<t |xi|/t*pi =1/t сумма по i от 1 до бесконечности |xi|*pi=1/t*M|X|. 2) Для Н.С.В. Х. Пусть Х – Н.С.В. с плотностью вероятности р(х). Вероятность того, что |X|>=t, равна сумме интегралов от плотности ...

Билеты на государственный аттестационный экзамен по специальности Информационные Системы

Скачать

332503

41

0

... по соответствующему полю). В окне Конструктора таблиц созданные связи отображаются визуально, их легко изменить, установить новые, удалить (клавиша Del). 1 Многозвенные информационные системы. Модель распределённого приложения БД называется многозвенной и её наиболее простой вариант – трёхзвенное распределённое приложение. Тремя частями такого приложения являются: ...

Теория вероятностей

Скачать

46495

1

6

... , вторая в среднем убывает. 3.    D(x±h)=D(x)+D(h)±2mxh Доказательство. D(x±h)=M((x±h)2)—M2(x±h)=M(x2±2xh+h2)—(M(x)±M(h))2=M(x2)±2M(xh)+M(h2)—+M2(x)+2M(x)*M(h)—M2(h)=D(x)+D(h)±2(M(xh))—M(x)*M(h)=D(x)+D(h)±2mxh Вопрос 31 Мат. статистика опирается на теорию вероятностей, и ее цель – оценить характеристики генеральной совокупности по выборочным данным. Генеральной совокупностью называется ...

Математические модели в естествознании

Скачать

141845

0

657

... поколений. Естественно, особенно они заметны, если популяция находится в изоляции, т.е. отсутствует миграция генов извне. Известны сообщества такого рода в человеческом обществе. Часть 2 Математические модели нейронных систем Изучение нейронных систем -одно из самых романтических направлений научных исследований, поскольку нейронные системы присущи как человеку, так и животным. Самая ...