Умножение матриц

1.2.2 Умножение матриц

Произведение С = А×В может быть получено тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Если А размера m´t и В размера t´n, то матрица С = А×В определяется формулой

. (1.10)

Заметим, что в общем случае А×В ≠ В×А.

Если А×В=В×А, то матрицы коммутирующие или перестановочные.

Умножение обладает свойствами:

 

А×(В×С) = (А×В) ×С (1.11)

ассоциативности и

 

(А+В) ×С=А×С+В×С и А×(В+С)=А×В+А×С (1.12)

дистрибутивности.

1.2.3 Умножение на скаляр

Умножение матрицы (А) на скаляр b означает, что каждый элемент матрицы умножается на скаляр

(1.13)

1.2.4. Вычисление определителей

Пусть А – квадратная матрица порядка n, n>1:

.

Определителем квадратной матрицы А порядка n, n>1 называется число

где  – определитель квадратной матрицы порядка n-1, полученной из матрицы А вычеркиванием первой строки и j-того столбца.

Формулу  называют формулой вычисления определителя разложением по первой строке. Число  называется алгебраическим дополнением элемента a_1j.

1.2.5 Обращение матрицы

Если А и В-две квадратные матрицы порядка n, такие, что

 

А×В=Е, (1.14)

то говорят, что В-матрица, обратная к А, и обозначается через

 

В=А^-1 ,(1.15)

заметим, что А×А^-1=А^-1×А=Е,

(1.16)

где D=detА (определитель матрицы А);  – алгебраическое дополнение элемента а_ij., а М_ijминор к элементу a_ij (определитель, полученный из А удалением i-й строки и j-ого столбца_.

Обращение обладает свойствами:

(1.17)

А^-1 существует, если det A¹0.

Если det A=0, то матрица особенная.

1.3 Матричное представление линейных уравнений

Система линейных уравнений может быть записана в виде матричного уравнения:

 

А×Х=В. (1.18)

Ее решение получаем, умножая обе части равенства слева на А^-1:

 

А^-1×А×Х=1×Х=А^-1×В,

то есть:

 

Х=А^-1×В. (1.19)

Это удобный способ выразить решение Х, но существуют методы решения значительно лучше, чем явное формирование матрицы А^-1 и умножение ее на В.

1.4 Используемые инструменты MathCAD

Большинство вычислений с матрицами, как и другие вычисления в Mathcad, можно выполнить тремя способами: с помощью панелей инструментов, выбором операции в меню или обращением к соответствующей функции.

Панель операций с матрицами и векторами в Matrix открывается щелчком по кнопке  в панели математических инструментов. За кнопками панели закреплены следующие функции:

 – определение размеров матрицы;

 – ввод нижнего индекса;

 – вычисление обратной матрицы;

 – вычисление определителя матрицы: ;

вычисление длины вектора |х|, |х|²=;

 – поэлементные операции с матрицами: если А={а_ij}, B={b_ij}, то ;

 – определение столбца матрицы: М^<j> – j-й столбец матрицы;

 – транспонирование матрицы: М={m_ij}, M^T={m_ji},

 – вычисление скалярного произведения векторов: ;

 – вычисление векторного произведения двух векторов: a´b=(a₂b₂ – a₃b₂ – a₂b₁ – a₁b₂ – a₂b₁);

 – вычисление суммы компонент вектора: ;

 – определение диапазона изменения индекса переменной;

 – визуализация цифровой информации, сохраненной в матрице.

Для того, чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно выделить матрицу и щелкнуть в панели по кнопке операции либо щелкнуть по кнопке в панели и ввести в помеченной позиции для матрицы.

Функции определения матриц и операции с блоками матриц:

matrix (m, n, f) – создает и заполняет матрицу размерности m´n, элемент которой, расположенный в i-й строке, j-м столбце, равен значению f (i, j) функции f (x, y);

diag(v) – создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали которой хранятся в векторе v;

identity(n) – создает единичную матрицу порядка n;

augment (A, B) – формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрица А, а в последних – матрица В (матрицы А и В должны иметь одинаковое число строк);

staсk (А, В) – формирует матрицу, в первых строках которой содержится матрица А, а в последних – матрица В (матрицы А и В должны иметь одинаковое число столбцов);

submatrix (A, ir, jr, ic, jc) – формирует матрицу, которая является блоком матрицы А, расположенным в строках с ir по jr и в столбцах с ic по jc, ir£jr, ic£jc.

Номер первой строки (столбца) матрицы или первой компоненты вектора хранится в Mathcad в переменной ORIGIN. По умолчанию в Mathcad координаты векторов, столбцы и строки матрицы нумеруются, начиная с 0 (ORIGIN=0). Поскольку в математической записи чаще используется нумерация с 1, здесь и в дальнейшем перед началом работы с матрицами будем определять значение переменной ORIGIN равным 1, т.е. будем прежде всего выполнять команду ORIGIN=1.

Функции вычисления числовых характеристик матриц:

last(v) – вычисление номера последней компоненты вектора v;

legth(v) – вычисление количества компонент вектора v;

rows(A) – вычисление числа строк в матрице А;

cols(A) – вычисление числа столбцов в матрице А;

max(A) – вычисление наибольшего элемента в матрице А;

min(A) – вычисление наименьшего элемента в матрице А;

tr(A) – вычисление следа квадратной матрицы А^*;

rank(A) – вычисление ранга матрицы А;

norm1 (A), norm2 (A), norme(A), normi(A) – вычисление норм квадратной матрицы А.

Функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры:

rref(A) – приведение матрицы к ступенчатому виду с единичным базисным минором (выполняет элементарные операции со строками матрицы);

eigenvals(A) – вычисление собственных значений квадратной матрицы А;

eigenvecs(A) – вычисление собственных векторов квадратной матрицы А; значением функции является матрица, столбцы которой есть собственные векторы матрицы А, порядок следования которых отвечает порядку следования собственных значений, вычисленных функцией eigenvals(A);

eigenvec (A, l) – вычисление собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению l;

lsolve (A, b) – решение системы линейных уравнений Ax=b.

Задание 1. Определить матрицу А размером 3´3 с помощью панели Matrix и трансформировать ее.

Создать матрицу В размером 3´3 с помощью функции Matrix.

Вычислить суммы А+В и В+А, произведения АВ и ВА, исследовать матрицы на симметричность.

Задать единичную матрицу Е 3-го порядка, вычислить произведения ЕА и АЕ.

Сформировать вектор v, представляющий 2-й столбец матрицы А, и диагональную матрицу diag(v).

Определить матрицы С и D, используя функции augment (A, V) и staсk (A, V^T).

Решить систему АХ=V, используя обратную матрицу А^-1 и функцию isolve (A, b).

2. Основные элементы схемы и понятия