Узловые уравнения

3.4 Узловые уравнения

Для формирования системы уравнений относительно узловых напряжений выразим  через параметры пассивных и активных элементов обобщенных ветвей:

.

Согласно первому закону Кирхгофа, для узлов графа

 

AI=-AJ или AYU=-AJ.

Теперь напряжение на ветвях определим через узловые потенциалы:

 

U=A^T×j+Е.

Таким образом, получаются уравнения

 

AY×A^T×j=AJ-AY×E, (3.14)

которые называют узловыми уравнениями.

Если ввести обозначения

– Y_y=AY×A^T – матрица узловых проводимостей,

– J_y=AJ-AY×E – матрица узловых токов,

то узловые уравнения запишутся кратко:

 

Y_y j=J_y.(3.14a)

При выполнении узлового анализа на ЭВМ обычно не строятся матрицы A и Y и не выполняют матричные умножения, а непосредственно пользуются правилами составления узловых уравнений:

1. Диагональные элементы матрицы Y_у положительны и Y_jj равны сумме проводимостей ветвей, подключенных к j-му узлу.

2. Внедиагональные элементы матрицы Y_y отрицательны и Y_jk равны сумме проводимостей ветвей, включенных между j-м и k-м узлами.

3. Произвольный элемент вектора тока J_y с номером j J_j равны сумме узловых токов, втекающих в j-узел.

Тогда l-я ветвь, направленная от узла j к узлу k, приводит к следующему вкладу в матрицы Y_y и J_y:

 

Так составляются уравнения по методу узловых потенциалов последовательным перебором топологического списка ветвей схемы.

Потенциалы узлов j_kравны напряжениям V_k между q-1 узлом и опорным узлом.

3.5 Контурные уравнения

Уравнения на основе второго закона Кирхгофа

 

CU=CE,

уравнение закона Ома

 

U=Z×I

и соотношение

подставим в контурное уравнение и получим:

.

Токи в обобщенных ветвях определим через контурные токи:

.

Так получаются контурные уравнения:

. (3.15)

Если ввести обозначения

Z_k=СZ×С^T – матрица контурных сопротивлений,

E_k= СE-СZ×J – матрица контурных ЭДС, то контурные уравнения запишутся в виде:

. (3.15а)

В матричной форме решения для контурных токов

(3.16)

выражают принцип наложения.

 

3.6 Независимые токи и напряжения

 

Запишем уравнения ЗКТ, используя матрицу главных сечений:

 

D×I=0,

где I – вектор токов ветвей.

Разделив матрицу на блоки, получим:

или

 

I_P= – F×I_X.(3.17)

Токи ребер графа выражаются через токи хорд:

(3.17а)

Токи хорд можно рассматривать как независимые переменные.

Уравнения, составленные по ЗКН,

 

CU=0,

где U – вектор напряжений на всех ветвях, использовав блочное представление матрицы С, запишем:

.

Напряжение на ветвях хорд выражаются через напряжения на ветвях ребер:

 

U_X=F^T×U_P. (3.18)

Напряжение на ветвях можно представить:

.

Из последнего, с учетом D=[l×F], следует:

 

U = D^T×U_P. (3.18а)

Напряжения, соответствующие ребрам графа, можно рассматривать как независимые переменные.

 

3.7 Типы ветвей

 

Y-ветвью называют ветвь, представленную проводимостью и описываемую компонентными уравнениями для токов. Ветвь включает проводимости, ветвь ИТУН, ветвь ИТУТ, независимые источники тока (рис. 3.10).

,

где - коэффициент передачи по току;

g_ij – передаточная проводимость.

В матричной форме уравнения для Y ветвей:

. (3.19)

В матрицу проводимостей Y включены проводимости ветвей и и передаточные проводимости. К этим уравнениям присоединяются уравнения многополюсников в Y-форме.

 

I_M=Y_M×U_M.

Рис. 3.10.

 

Z-ветви характеризуются сопротивлениями и описываются напряжениями.

Обобщенная 2-полюсная Z-ветвь показана на рис. 3.11:

Рис. 3.11.

,

где r_ji – передаточное сопротивление;

 – коэффициент передачи по напряжению.

Уравнение Z-ветвей в матричной форме имеет вид:

 

U_Z=Z×I_Z+K^U×U_Y-E. (3.20)

В Z матрицу входят сопротивления ветвей и передаточные сопротивления. Уравнения Z-ветвей дополняются уравнениями многополюсников в Z-форме.

U_M=Z_M×I_M

Компонентные уравнения обобщенных ветвей:

. (3.21)