Корректность разностной схемы

1.5 Корректность разностной схемы

Пусть имеем дифференциальную задачу

, (12)

 (13) и на сетке  аппроксимируем ее разностной схемой

 (14)

 (15)

Задача (12), (13) поставлена корректно, если выполнены условия:

1)         задача однозначно разрешима при любых правых частях

2)         решение задачи непрерывно зависит от правых частей т.е.

_H≤ M₁∙_H +M₂∙_H.

Аналогично определяется понятие корректности разностной схемы (14), (15). Говорят, что разностная схема (14), (15) корректна, если при всех достаточно малых │h│< h₀:

1) решение y_h разностной схемы существует и единственно для всех входных данных f _hH_h, ц_h H_h;

2) существуют постоянные M₁>0, M₂>0 не зависящие от h и такие, что при любых f _h H_h, ц_h H_h справедлива оценка

_Hh≤ M₁∙_Hh +M₂∙_Hh. (16)

Свойство 2), означающее непрерывную зависимость, равномерную относительно h, решения разностной схемы от правых частей, называется устойчивостью разностной схемы. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Пусть имеем задачу:

 (17)

Точным решением задачи (17) является функция

Если ввести новую функцию  то получим задачу

 (18)

Решением задачи (18) является функция

Задачу (18) аппроксимируем на равномерной сетке  = {x_i=ih, i=0,n} схемой:

 (19)

Перепишем схему (19) в виде

Отсюда имеем

Рассмотрим фиксированную точку  и выберем последовательность сеток  таких, чтобы  = i₀ ∙ h, т.е.  является узлом сетки  при h→0.

Вычислим значение у в этой точке y() = y_i0=sⁱ⁰y₀. Так как │s│< 1 при б>0

и любых h, то│ y()│≤│sⁱ⁰│^∙│y₀│< │y(0)│ при любом h. Из этого

неравенства видно, что решение разностной схемы (19) непрерывно зависит от вход?ных данных. В таких случаях говорят, что разностная схема устойчива по входным данным (по начальным условиям и по правой части).

Пример 2. Имеем уравнение

,   (20)

Точным решением задачи (20) является функция

Отсюда следует неравенство

, (21)

при л>0.

Для устойчивости вычислительных алгоритмов решения задачи (20) должно быть выполнено условие вида (21) т.е.

 (22)

Задачу (20) аппроксимируем явной схемой Эйлера

  (23)

.

Выражая решение схемы (23) через начальное условие, имеем

Неравенство (22) будет выполнено, если

т.е.  .

Таким образом, явная схема Эйлера условно устойчива.

Пример 3. Для численного решения задачи (20) используем неявную схему Эйлера

  (24)

Отсюда

 т.е.

 при

Схема (24) абсолютно устойчива, ибо выполнено условие (22) при любом h.

Пример 4. Задачу (20) аппроксимируем схемой с весом

  (25)

Отсюда имеем

Условие (22) будет выполнено, если

 т.е

Отсюда получаем

Схема абсолютно устойчива при

 и

т.е. схема (25) условно устойчива при

Похожие работы

Методы оценки температурного состояния

Скачать

59485

4

20

... на первой  и последующих  итерациях равна: ; (3.22) . (3.23) Критерием завершения итерационного процесса является условие: ,(3.24) где  - заданная точность расчета [4]. 4. Методы оценки термонапряженного состояния 4.1 Физические основы возникновения термических напряжений При изменении температуры происходит объемное расширение или сжатие твердого тела. Неравномерный нагрев ...

Численное исследование движения системы "газовая струя – жидкость"

Скачать

36871

3

34

... диаметрах критического сечения представлены на рисунке 2.24 Рисунок 2.24 - Зависимость оптимальной высоты поднятия фурмы от давления при различных диаметрах критического сечения сопла Лаваля 3. Численное исследование движения жидкости Приведены уравнения Навье - Стокса установившегося осесимметричного движения несжимаемой вязкой жидкости в переменных функция тока - вихрь. Проведено ...

Методы численного моделирования МДП-структур

Скачать

11306

2

0

... системы на ЭВМ, а так же требование его экономичности обуславливают применение регулярных сеток, расположение узлов в которых подчиняется определённым закономерностям. В практике численного моделирования микроэлектронных структур примеяются как непрерывные прямоугольные (неравномерные), так и треугольные сетки (рис.2.). Треугольная сетка позволяет с меньшим количеством дополнительных узлов сгущать ...

Нейрокомпьютерные системы

Скачать

243425

1

0

... . Реакции узлов более высокого уровня менее зависят от позиции и более устойчивы к искажениям. Структура Неокогнитрон имеет иерархическую структуру, ориен­тированную на моделирование зрительной системы челове­ка. Он состоит из последовательности обрабатывающих слоев, организованных в иерархическую структуру (рис. 10.8). Входной образ подается на первый слой и передается через плоскости, ...