Аппроксимация и сходимость

1.6 Аппроксимация и сходимость

Для того, чтобы выяснить, с какой точностью приблизили функцию u=u(x) с помощью функции y(x), мы должны их сравнить. Пусть u^h значение функции u(x) на сеточной области , т.е. u^hH_h.

Рассмотрим погрешность решения разностной схемы (14), (15), которая аппроксимирует на сетке дифференциальную задачу (12), (13).

Введем функцию погрешности решения

z_h= y_h –u^h,

где y_h– решение схемы (14), (15), u^h- решение задачи (12), (13) на сетке ͞w_h. Подставив y_h= z_h +u^h в линейную задачу (14), (15), получим для zh задачу того же вида, что и (14), (15):

 (26)

 (27)

 (28)

Функции (28) называются погрешностью аппроксимации задачи (12), (13), схемой (14), (15) на решение задачи (12), (13).

Будем говорить, что решение разностной схемы (14), (15) сходится к решению задачи (12), (13), если

_Hh = _Hh → 0 при h→0.

Разностная схема сходится со скоростью О(hn) или имеет n-ый порядок точности, если при достаточно малом h ≤ h₀ выполняется неравенство

 _Hh =_Hh ≤ M ∙ hⁿ,

где M > 0, не зависит от h, n > 0.

Говорят, что разностная схема имеет n-ый порядок аппроксимации, если

ш_h = O(hⁿ),

т.е  ≤ M∙hⁿ.

Теорема. Пусть дифференциальная задача (12), (13) поставлена корректно, разностная схема (14), (15) является корректной и аппроксимирует исходную задачу (12), (13). Тогда решение разностной схемы (14), (15) сходится к решению исходной задачи (12), (13), причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.

Доказательство. Если схема (14), (15) корректна, то не трудно получить оценку погрешности решения через погрешность аппроксимации (28).

Задача (26), (27) аналогична задаче (14), (15), поэтому для нее пользуясь априорной оценкой вида (16), получим оценку

_Hh = _Hh ≤ M_1Hh+ M_2Hh. (29)

Таким образом, если схема (14), (15) корректна и аппроксимирует задачу (12), (13), то она сходится при h→0. Норма погрешности ‖z_h‖_Hh→0 при h→0, если _Hh→0 и  _Hh→0 при h→0.

Из оценки (28) видно, что порядок точности схемы (14), (15) определяется порядком аппроксимации, и чтобы схема сходилась со скоростью O(hⁿ), n>0 достаточно, чтобы она имела аппроксимацию того же порядка, т.е.

_Hh = О(hⁿ), _Hh = O(hⁿ).

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Рассмотрим явную схему Эйлера

которая аппроксимирует дифференциальную задачу (20). Покажем порядок погрешности аппроксимации и сходимость.

Рассмотрим функцию погрешности решения

Для z_i получаем схему:

  (30)

Разложим u_i+1 по формуле Тейлора в точке x_i, имеем

 (31)

Подставляя (31) в ш_i, получим

т.е. имеем порядок аппроксимации. Из (30) имеем

При   имеем  Выражая z_iчерез z₀, получим:

Отсюда видно, что при h→0, │z_i│→0. Для точности схемы имеем

│z_i+1│≤  h∙│ш_s│≤ h ∙ i ∙ O(h) = x_i∙O(h) ≤ M ∙ h,

т.е. схема имеет первый порядок точности.

Пример 2. Рассмотрим неявную схему Эйлера

,

которая аппроксимирует дифференциальную задачу (20). Для погрешности решения z_i= y_i –u_iполучаем разностную схему:

Подставляя разложение (31) в ш_i, получим

Отсюда имеем

т.е. первый порядок аппроксимации. Для сходимости рассмотрим решение задачи для z_i:

Множитель  при л > 0. Выражая z_i через z₀, имеем

Отсюда │z_i│≤ M∙h, т.е. схема имеет первый порядок точности. Таким же образом можно показать, что схема с весом

имеет первый порядок аппроксимации и при выполнении условий устойчивости имеет место сходимость и притом порядок точности совпадает с порядком погрешности аппроксимации.

Похожие работы

Методы оценки температурного состояния

Скачать

59485

4

20

... на первой  и последующих  итерациях равна: ; (3.22) . (3.23) Критерием завершения итерационного процесса является условие: ,(3.24) где  - заданная точность расчета [4]. 4. Методы оценки термонапряженного состояния 4.1 Физические основы возникновения термических напряжений При изменении температуры происходит объемное расширение или сжатие твердого тела. Неравномерный нагрев ...

Численное исследование движения системы "газовая струя – жидкость"

Скачать

36871

3

34

... диаметрах критического сечения представлены на рисунке 2.24 Рисунок 2.24 - Зависимость оптимальной высоты поднятия фурмы от давления при различных диаметрах критического сечения сопла Лаваля 3. Численное исследование движения жидкости Приведены уравнения Навье - Стокса установившегося осесимметричного движения несжимаемой вязкой жидкости в переменных функция тока - вихрь. Проведено ...

Методы численного моделирования МДП-структур

Скачать

11306

2

0

... системы на ЭВМ, а так же требование его экономичности обуславливают применение регулярных сеток, расположение узлов в которых подчиняется определённым закономерностям. В практике численного моделирования микроэлектронных структур примеяются как непрерывные прямоугольные (неравномерные), так и треугольные сетки (рис.2.). Треугольная сетка позволяет с меньшим количеством дополнительных узлов сгущать ...

Нейрокомпьютерные системы

Скачать

243425

1

0

... . Реакции узлов более высокого уровня менее зависят от позиции и более устойчивы к искажениям. Структура Неокогнитрон имеет иерархическую структуру, ориен­тированную на моделирование зрительной системы челове­ка. Он состоит из последовательности обрабатывающих слоев, организованных в иерархическую структуру (рис. 10.8). Входной образ подается на первый слой и передается через плоскости, ...