Количество корней квадратного трехчлена

1. Количество корней квадратного трехчлена.

Для определения количества корней квадратного трехчлена достаточно знать знак дискриминанта D=B²-4AC: два корня, если D>0; один корень, если D=0; нет корней, если D<0.

2. Нахождение корней квадратного трехчлена при D0 по формуле

 . Причем, при D=0 корни совпадают .

3. Теорема Виета: Если дискриминант  (при А0), то трехчлен Ax+Bх+C имеет корни  и , удовлетворяющие соотношениям:  (*)

И наоборот, если числа  и  удовлетворяют соотношениям (*), то они являются корнями квадратного трехчлена Ax+Bх+C.

 4. Квадратное уравнение – это уравнение, соответствующее квадратному трехчлену (1), Ax+Bх+C=0, где х – переменная, А, В, С - некоторые числа, А0.

5. Понятие об уравнении с параметром.

Пусть задано уравнение f(x,a)=0. Его называют уравнением с неизвестным х и параметром а, если, в частности, ставится задача найти х для каждого значения а.

Уравнение с параметром – это, по существу, краткая запись множества уравнений, получаемых при различных значениях а.

Пример. Рассматривается серия уравнений: , , . В общем виде эти уравнения можно записать: , где а – некоторое число, которое называется параметром.

3.  Решение задач

3.1. Рассмотрение примера решения задачи:

При каких значениях m ровно один из корней уравнения 3х²+х+2m-3=0 равен 0?

Учитель записывает решение на доске и поясняет каждый шаг.

3.2. Решение задач.

- задания 1, 2: каждое задание один из учеников решает на доске, остальные – в тетради. После решения задания 2 ученик с помощью учителя записывает на доске условия, определяющие количество корней квадратного уравнения в зависимости от значения А(а).

- задание 3: учащимся дается время на самостоятельное выполнение задания. После того, как с заданием справилась треть класса, один из учеников, его выполнивших, записывает решение на доске.

Дополнительные задания:

- учащиеся, решающие «вперед», самостоятельно выполняют задания 4-7. В конце занятия производится устная проверка решения этих заданий: рассказывается идея и шаги решения.

Задания.

Основная часть:

1. При каких значениях m ровно один из корней уравнения равен 0:

 x²+(m+3)x+m-3=0

 2. При каких значениях параметра р уравнение рх- х+3=0 имеет единственное решение?

При решении данного уравнения необходимо учесть, что может быть р=0. В этом случае уравнение также имеет единственное решение.

В общем случае условия существования единственного решения запишутся следующим образом:

 или

Если  то уравнение не имеет корней.

Если  то уравнение имеет бесконечно много решений.

3.  При каких значениях параметра а уравнение ах-4х+а+3=0 имеет не более одного корня?

Дополнительные задания:

4. При каких значениях а корни уравнения 4х²+(5а-1)х+3а=-а равны по модулю, но противоположны по знаку?

5.  Найдите все значения параметра k, при которых уравнение (k-2)x-2kx+2k-3=0 имеет хотя бы один корень?

6.  Доказать, что при любом значении а уравнение х²+(а-2)х+(а-3)=0 имеет два корня.

7.  При каких значениях параметра а уравнение  имеет единственное решение?

4. Подведение итогов занятия:

- Интересными ли явились задания?

- Не являются ли они сложными или, наоборот, простыми?

Выставление учениками самим себе баллов за каждое верно решенное задание (1 задание – 1 балл).

5. Постановка домашнего задания:

Задания, аналогичные задачам, решаемым на занятии:

№1. а) При каких значениях k оба корня уравнения х²+(16-k)х+k+8=0 равны 0?

 б) При каких значениях а корни уравнения х²-2х+m-1=0

равны по модулю, но противоположны по знаку?

№2. При каких а уравнение

а) (а-4)х+(2а-4)х-(а-2)=0 имеет не менее одного решения;

б) (а+1)х+2(а+1)х-2=0 не имеет корней.

Задания на самостоятельный поиск решения:

№3. а) Найти корни квадратного уравнения ах²+bх+с=0, если а–b+с=0.

 б) При каких значениях параметра а уравнения  равносильны? (Вспомнить, какие уравнения называются равносильными)

Литература: [3], [8], [12], [13], [18].

Занятие II. Теорема Виета. Знаки корней квадратного трехчлена

Цель: формирование умения определять знаки корней квадратного трехчлена, применяя теорему Виета.

Ход занятия:

Похожие работы

Элективные курсы по математике в профильной школе

Скачать

89678

5

2

... -иллюстративного и репродуктивного метолов, а экономический профиль ориентирован на формирование прикладного стиля мышления. 2. Методика проведения элективных курсов по математике в профильной школе   2.1 Цели организации элективных курсов по математике   Принципиальным положением организации школьного математического образования в настоящее время является дифференциация обучения ...

Решение уравнений с параметрами

Скачать

12228

1

1

... на уроках алгебры и занятиях элективного курса по математике, участие проектной группы в городской конференции по данной теме в 2006 году. Объектом исследовательской работы было решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами выше представленных функций. Структура данной работы включает в себя теорию, практическую часть, заключение, библиографический список. Решение уравнений с ...

Решение задач на построение в курсе геометрии основной школы как средство развития логического мышления школьников

Скачать

147329

8

14

... учебник и задачник / А. П. Кисилев, Н.А. Рыбкин. – М.: Дрофа, 1995. 9.   Изучение личности школьника / под. ред. Л.И. Белозеровой. – Киров, Информационный центр, 1991. 10.             Коновалова, В.С. Решение задач на построение в курсе геометрии как средство развития логического мышления / В.С. Коновалова, З.В. Шилова // Познание процессов обучения физике: сборник статей. Вып.9. – Киров: Изд-во ...

Комплексные числа (избранные задачи)

Скачать

57748

1

44

... Этим числам соответствуют три точки: A (), B () и C (). Они расположены на единичной окружности и делят ее на три равные части (рис. 18). Рис. 18. Задача 42. Изобразите на плоскости комплексные числа , удовлетворяющие условию: . Решение , значит,  и . Получили две точки: B () и C () (рис. 19). Рис. 19. Задача 43. Изобразите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию: ...