Навигация
Геометрический смысл определенного интеграла
15080
знаков
0
таблиц
15
изображений
2. Геометрический смысл определенного интеграла
Пусть на отрезке 
задана непрерывная неотрицательная функция 
. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, слева и справа – прямыми x = a и x = b (рис. 2).
Рис. 2
Определенный интеграл 
от неотрицательной функции с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа – отрезками прямых 
и 
, снизу – отрезком оси Ох.
3. Основные свойства определенного интеграла
1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: 
.
2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю: 
3. Если 
, то, по определению, полагаем 
4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: 
5. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:
.
6. Если функция 
интегрируема на и 
, то
.
7. (теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка 
, такая, что 
.
4. Формула Ньютона–Лейбница
Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов.
Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке и 
– какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:
, (2)
которая называется формулой Ньютона–Лейбница. Разность 
принято записывать следующим образом:
,
где символ
называется знаком двойной подстановки.
Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:
.
Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе находят некоторую первообразную для подынтегральной функции ; на втором – находится разность 
значений этой первообразной на концах отрезка .
Пример 1. Вычислить интеграл 
.
Решение. Для подынтегральной функции 
произвольная первообразная имеет вид 
. Так как в формуле Ньютона-Лейбни-ца можно использовать любую первообразную, то для вычисления ин-
теграла возьмем первообразную, имеющую наиболее простой вид: 
. Тогда 
.
Пример 2. Вычислить интеграл 
.
Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем:
.
Похожие работы
... с содержится в промежутке . Таким образом, мы вновь получили лангранжеву форму дополнительного члена. 5. Заключение. В курсовой работе даны определения определенного и несобственного интеграла и его виды, рассмотрены вопросы некоторого приложения определенного интеграла. В частности, формула Валлиса, имеющая историческое значение, как первое представление числа p в виде предела легко вычисляемой ...
ределенный интеграл функции типа численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x=0, y=a, y=b и y= (Рис. 1). Есть два метода вычисления этой площади или определенного интеграла — метод трапеций (Рис. 2) и метод средних прямоугольников (Рис. 3). Рис. 1. Криволинейная трапеция. Рис. 2. Метод трапеций. Рис. 3. Метод средних прямоугольников. По методам ...
... n (увеличения числа интеграций) повышается точность приближенного вычисления интегралов Задание на лабораторную работу 1) Написать программы вычисления определенного интеграла методами: средних, правых прямоугольников, трапеции и методом Симпсона. Выполнить интегрирование следующих функций: 1. f(x)=x f(x)=x2 f(x)= x3 f(x)= x4 на отрезке [0, 1] с шагом , , 2. f(x)= f(x)= f(x)= ...
... ( процедура TABL ) и интеграл. 4. Заключение и выводы. Таким образом очевидно, что при вычислении определенных интегралов с помощью квадратурных формул, а в частности по формуле Чебышева не дает нам точного значения, а только приближенное. Чтобы максимально приблизиться к достоверному значению интеграла нужно уметь правильно выбрать метод и формулу, по которой будет вестись расчет. Так же ...
0 комментариев