Интегрирование по частям

6.  Интегрирование по частям

Теорема 4. Пусть функции  и  имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям:

. (4)

 

Доказательство

Так как , то функция  является первообразной для функции . Тогда по формуле Ньютона–Лейбница получаем

,

откуда

.

 

Пример 6. Вычислить .

Решение. Положим , отсюда . По формуле (4) находим

.

Пример 7. Вычислить .

Решение. Пусть , тогда . Применяя формулу интегрирования по частям, получаем

.

Пример 8. Вычислить .

Решение. Полагая , определяем . Следовательно:

[к полученному интегра-лу снова применяем формулу интегрирования по частям: ; следовательно: ] =  =

.

Лекция 2. Применение определенных интегралов. Несобственные интегралы

 

1.  Площадь криволинейной трапеции

Пусть функция  неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции, снизу – осью , слева и справа – прямыми  и  (см. рис. 2) вычисляется по формуле

. (5)

 

Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией  и осью .

Решение. Графиком функции  является парабола, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 3). Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью  (прямой ). Для этого решаем систему уравнений

Получаем: , откуда , ; следовательно, , .

Рис. 3

Площадь фигуры находим по формуле (5):

 (кв. ед.).

Если функция  неположительна и непрерывна на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком данной функции, сверху – осью , слева и справа – прямыми  и , вычисляется по формуле

. (6)

В случае если функция  непрерывна на отрезке  и меняет знак в конечном числе точек, то площадь заштрихованной фигуры (рис. 4) равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:

. (7)

Рис. 4

 

Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью  и графиком функции  при .

Рис. 5

Решение. Сделаем чертеж (рис. 5). Искомая площадь представляет собой сумму площадей  и . Найдем каждую из этих площадей. Вначале определим пределы интегрирования, решив систему  Получим , . Следовательно:

 ;

.

Таким образом, площадь  заштрихованной фигуры равна

 (кв. ед.).

Рис. 6

Пусть, наконец, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке  функций  и ,
а слева и справа – прямыми  и  (рис. 6). Тогда ее площадь вычисляется по формуле

. (8)

 

Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  и .

Решение. Данная фигура изображена на рис. 7. Площадь ее вычислим по формуле (8). Решая систему уравнений  находим , ; следовательно, , . На отрезке  имеем: . Значит, в формуле (8) в качестве  возьмем x, а в качестве  – . Получим:

   (кв. ед.).

Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.

Рис. 7

 

Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,  , .

Решение. Сделаем чертеж (рис. 8). Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью , слева и справа – прямыми  и , сверху – графиками функций  и . Так как фигура ограничена сверху графиками двух функций, то для вычисления ее площади разобьем данную фигуру прямой  на две части (1 – это абсцисса точки пересечения линий  и ). Площадь каждой из этих частей находим по формуле (4):

 (кв. ед.);  (кв. ед.). Следовательно:

 (кв. ед.).

Рис. 8

х = j (у)

Рис. 9

В заключение отметим, что если криволинейная трапеция ограничена прямыми  и , осью  и непрерывной на  кривой  (рис. 9), то ее площадь находится по формуле

.