Навигация
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
15080
знаков
0
таблиц
15
изображений
4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
При введении понятия определённого интеграла 
предполагалось, что выполняются следующие два условия:
а) пределы интегрирования а и 
являются конечными;
б) подынтегральная функция 
ограничена на отрезке 
.
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называется несобственным.
Рассмотрим вначале несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Определение. Пусть функция 
определена и непрерывна на промежутке 
, тогда
(12)
называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования (несобственным интегралом I рода).
Если 
существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если данный предел не существует или равен 
, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Геометрически несобственный интеграл 
от неотрицательной функции 
выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу – осью 
, слева – отрезком прямой 
и неограниченной справа (рис. 15).
Если несобственный интеграл сходится, то эта площадь является конечной; если несобственный интеграл расходится, то эта площадь бесконечна.
Рис. 15
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования:
. (13)
Этот интеграл сходится, если предел в правой части равенства (13) существует и конечен; в противном случае интеграл называется расходящимся.
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется следующим образом:
, (14)
где с – любая точка интервала 
. Интеграл 
сходится только в том случае, когда сходятся оба интеграла в правой части равенства (14).
Пример 16. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
а) 
; б)
; в) 
; г) 
.
Решение. а) 
, следовательно, данный интеграл расходится;
б) 
. Так как при 
предел 
не существует, то интеграл 
расходится;
в) 
Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно 
;
г) 
= [выделим в знаменателе полный квадрат: 
] = 
[замена: 
] = 
Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно 
.
5. Несобственные интегралы от неограниченных функций
Пусть функция непрерывна на конечном промежутке 
, но не ограничена на этом промежутке.
Определение. Несобственным интегралом от функции у=f(x) на промежутке 
называется предел 
, т.е.
. (15)
Если предел, стоящий в правой части равенства (15) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Интеграл (15) иногда называют несобственным интегралом второго рода.
Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции непрерывной, но не ограниченной на промежутке 
:
. (16)
Если функция не ограничена при 
, где 
, и непрерывна при 
и 
, то несобственный интеграл от функции у=f(x) на отрезке 
обозначается 
и определяется равенством
. (17)
Несобственный интеграл (17) называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части равенства (17).
В противном случае данный интеграл называется расходящимся.
Пример 17. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
а) 
; б) 
.
Решение: а) данный интеграл является интегралом от неограниченной функции (подынтегральная функция 
не определена в точке 
, при 
эта функция неограниченно возрастает).
По определению имеем
[замена: 
] = 
, следовательно, данный интеграл сходится.
б) по определению
.
Значит, данный интеграл является расходящимся.
Литература
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. I. – М.: Наука, 1982. – 616 с.
2. Гусак А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения. – Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.
3. Гусак А.А. Высшая математика: Учеб. пособие для студентов вузов: В 2 т. – Мн., 1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).
4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.
5. Яблонский А.И., Кузнецов А.В., Шилкина Е.И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С.А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000. – 351 с.
Похожие работы
... с содержится в промежутке . Таким образом, мы вновь получили лангранжеву форму дополнительного члена. 5. Заключение. В курсовой работе даны определения определенного и несобственного интеграла и его виды, рассмотрены вопросы некоторого приложения определенного интеграла. В частности, формула Валлиса, имеющая историческое значение, как первое представление числа p в виде предела легко вычисляемой ...
ределенный интеграл функции типа численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x=0, y=a, y=b и y= (Рис. 1). Есть два метода вычисления этой площади или определенного интеграла — метод трапеций (Рис. 2) и метод средних прямоугольников (Рис. 3). Рис. 1. Криволинейная трапеция. Рис. 2. Метод трапеций. Рис. 3. Метод средних прямоугольников. По методам ...
... n (увеличения числа интеграций) повышается точность приближенного вычисления интегралов Задание на лабораторную работу 1) Написать программы вычисления определенного интеграла методами: средних, правых прямоугольников, трапеции и методом Симпсона. Выполнить интегрирование следующих функций: 1. f(x)=x f(x)=x2 f(x)= x3 f(x)= x4 на отрезке [0, 1] с шагом , , 2. f(x)= f(x)= f(x)= ...
... ( процедура TABL ) и интеграл. 4. Заключение и выводы. Таким образом очевидно, что при вычислении определенных интегралов с помощью квадратурных формул, а в частности по формуле Чебышева не дает нам точного значения, а только приближенное. Чтобы максимально приблизиться к достоверному значению интеграла нужно уметь правильно выбрать метод и формулу, по которой будет вестись расчет. Так же ...
0 комментариев