5. Замена переменной в определенном интеграле

Теорема 3. Пусть функция  непрерывна на отрезке . Тогда, если: 1) функция  и ее производная  непрерывны при ; 2) множеством значений функции  при  является отрезок ; 3) , , то справедлива формула

, (3)

которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Заметим, что как и в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования  и  (для этого надо решить относительно переменной t уравнения  и )).

На практике часто вместо подстановки  используют подстановку . В этом случае нахождение новых пределов интегрирования по переменной t упрощается: , .

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение. Введем новую переменную по формуле . Определим  и . Возведя в квадрат обе части равенства , получим , откуда  . Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу подставим старые пределы  и . Получим: , откуда  и, следовательно, ; , откуда  и, следовательно, . Таким образом:


.

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Положим , откуда  , . Найдем новые пределы интегрирования: если , то ; если , то . Значит, . Следовательно:


 

.

 

Пример 5. Вычислить интеграл .

Решение. Положим , тогда , откуда . Находим новые пределы интегрирования: ; . Имеем: . Следовательно:

.


Информация о работе «Определенный интеграл»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 15080
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 15

Похожие работы

Скачать
7939
0
1

... с содержится в промежутке . Таким образом, мы вновь получили лангранжеву форму дополнительного члена. 5. Заключение. В курсовой работе даны определения определенного и несобственного интеграла и его виды, рассмотрены вопросы некоторого приложения определенного интеграла. В частности, формула Валлиса, имеющая историческое значение, как первое представление числа p в виде предела легко вычисляемой ...

Скачать
5433
0
0

ределенный интеграл функции типа численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x=0, y=a, y=b и y= (Рис. 1). Есть два метода вычисления этой площади или определенного интеграла — метод трапеций (Рис. 2) и метод средних прямоугольников (Рис. 3). Рис. 1. Криволинейная трапеция. Рис. 2. Метод трапеций. Рис. 3. Метод средних прямоугольников. По методам ...

Скачать
9922
2
7

... n (увеличения числа интеграций) повышается точность приближенного вычисления интегралов Задание на лабораторную работу 1)  Написать программы вычисления определенного интеграла методами: средних, правых прямоугольников, трапеции и методом Симпсона. Выполнить интегрирование следующих функций: 1.  f(x)=x f(x)=x2 f(x)= x3 f(x)= x4 на отрезке [0, 1] с шагом , , 2.  f(x)= f(x)= f(x)= ...

Скачать
9905
2
5

... ( процедура TABL ) и интеграл.  4. Заключение и выводы. Таким образом очевидно, что при вычислении определенных интегралов с помощью квадратурных формул, а в частности по формуле Чебышева не дает нам точного значения, а только приближенное. Чтобы максимально приблизиться к достоверному значению интеграла нужно уметь правильно выбрать метод и формулу, по которой будет вестись расчет. Так же ...

0 комментариев


Наверх