Навигация
Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули
9884
знака
0
таблиц
5
изображений
Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули
1. Скалярне поле
Нехай 
– область у тривимірному просторі (або на площині). Кажуть, що в області задано скалярне поле, якщо кожній точці 
поставлено у відповідність деяке число 
.
Прикладами скалярних полів є поле температури даного тіла, поле густини даного неоднорідного середовища, поле вологості повітря, поле атмосферного тиску, поле потенціалів заданого електростатичного поля тощо.
Поверхня (лінія), на якій функція набуває одне й те саме значення, називається поверхнею (лінією) рівня скалярного поля (наприклад, поверхні або лінії постійної температури). Надаючи різних постійних значень: 
, отримаємо сім’ю поверхонь (ліній) рівня даного скалярного поля.
Фізичні скалярні поля не залежать від вибору системи координат: величина 
є функцією лише точки 
і, можливо, часу (нестаціонарні поля).
Якщо в просторі ввести прямокутну систему координат 
, то точка у цій системі координат матиме певні координати 
і скалярне поле стане функцією цих координат: 
.
2. Векторне поле
Кажуть, що в області задано векторне поле, якщо кожній точці поставлено у відповідність деякий вектор 
.
Фізичні приклади векторних полів: електричне поле системи електричних зарядів, яке характеризується в кожній точці вектором напруженості 
; магнітне поле, утворене електричним струмом і яке характеризується в кожній точці вектором магнітної індукції 
; поле тяжіння, утворене системою мас і яке характеризується в кожній точці вектором сили тяжіння 
, що діє в цій точці на одиничну масу; поле швидкостей потоку рідини, яке описується в кожній точці вектором швидкості 
.
Зручною геометричною характеристикою векторного поля є векторні лінії – криві, в кожній точці яких вектор напрямлений по дотичній до кривої. Векторні лінії поля тяжіння, електричного і магнітного полів називається силовими лініями, а поля швидкостей – лініями струму.
Нехай векторна лінія, яка проходить через точку 
, описується рівнянням 
, де 
– параметр. Умова колінеарності вектора поля 
і дотичного вектора 
в довільній точці цієї лінії має вигляд
,(1)
де 
– деяке число. Умову (1) можна записати також у вигляді
(2)
або, помноживши на 
, у вигляді
.(3)
Кожне із рівнянь (1) – (3) є диференціальним рівнянням векторних ліній у векторній формі і визначає множину векторних ліній. Конкретна векторна лінія, яка проходить через задану точку , визначається додатковою умовою
,(4)
де 
– радіус-вектор точки .
Фізичні векторні поля не залежать від системи координат: в кожній точці вектор повністю визначається своїм модулем 
і напрямом. Якщо в просторі введена прямокутна система координат , то векторне поле описується вектор-функцією трьох змінних 
або трьома скалярними функціями – її координатами:
.
Оскільки в прямокутних координатах 
, то векторне рівняння (3) для векторних ліній еквівалентне системі диференціальних рівнянь
,(5)
а додаткове векторне рівняння (4) еквівалентне таким умовам:
,(6)
де 
– координати точки .
Похожие работы
... кта та алгоритму його функціонування, або алгоритму процесу, а також уявлення опису на різноманітних мовах здійснюється взаємодією людини і ЕОМ. Система автоматизованого проектування - це комплеск засобів автоматизації проектування, взаємозв’язаних з необхідними підрозділами проектної організації або колективом спеціалістів (користувачем системи), які виконують автоматизоване проектування. САПР ...
... на малому , g(x,y) стала y1 = y(x0 ) + y(x0 ) + g(x0, y0 ) x Повторюючи знайдемо y2 = y(x1+x) y(x1) + g(x1, y1 ) x yn= yn-1+ g(xn-1 ,yn-1) x, (n=0,1,2…) нахил дотичної визначається початковою точкою інтервалу. 2.3. Програма для комп’ютера. Алгоритм методу. 1. Вибирається початкова умова, величина кроку і кількість ітерацій (кроків). 2. Визначається y і нахил у початковій точці ...
... мальне значення показникунадійності, при якому приймається рішення про орєінтованийзвязок назвем порогом показника надійності і позначимо (). Для можливості порівняння результатів у різних парах змінних в одній задачі системного синтезу корисно ввести відносний показник надійності. Відносним показником надійності ηij приняття рішення про напрям звязку між змінними xj → xi (стрілка в ...
... здійснювати на ведучому навчальному матеріалі. 6. Формування прийомів розумової діяльності вимагає врахування індивідуально-вікових особливостей учнів. 1.2 Формування уміння порівнювати в процесі навчання математики Порівняння в навчанні – це розумова операція, за допомогою якої встановлюються риси подібності і відмінності між визначеними предметами і явищами. Пізнання будь-якого ...
0 комментариев