Навигация
4. Градієнт скалярного поля
скалярне векторне поле дивергенція
Означення. Градієнтом скалярного поля 
називається вектор-функція
.
Із рівності (7) випливає, що
,(8)
Звідси 
, оскільки 
.
Тут 
– кут між векторами 
і 
в точці 
. Очевидно, що 
має найбільше значення при 
, тобто у напрямі в даній точці. Інакше кажучи, вектор в даній точці вказує напрям найбільшого зростання поля 
(функції ) у цій точці, а 
є швидкість зростання функції в цьому напрямі. Таким чином, вектор не залежить від вибору системи координат, а його модуль і напрям у кожній точці визначається самою функцією 
.
5. Потенціальне поле
Означення. Векторне поле 
називається потенціальним в області 
, якщо воно збігається в області з полем градієнта деякого скалярного поля :
.(9)
Функція називається скалярним потенціалом векторного поля . Якщо 
, то із рівності (9) випливає, що
.
Інколи потенціалом векторного поля 
називають таку функцію , що 
.
Розглянемо, наприклад, поле тяжіння точкової маси 
, розміщеної на початку координат. Воно описується вектор-функцією 
(
– гравітаційна стала, 
). З такою силою діє це поле на одиничну масу, розміщену в точці 
. Поле тяжіння є потенціальним. Його можна подати у вигляді градієнта скалярної функції 
, яка називається ньютонівським потенціалом поля тяжіння точкової маси . Дійсно
.
Аналогічно 
, звідси
.
Далі, розглянемо ще один приклад. Нехай задано електричне поле точкового заряду 
, розміщеного на початку координат. Воно описується в точці 
вектором напруженості
.
Це поле також є потенціальним полем. Його можна подати у вигляді 
. Функція 
називається потенціалом електричного поля точкового заряду .
Поверхні рівня потенціала називаються еквіпотенціальними поверхнями.
Похожие работы
... кта та алгоритму його функціонування, або алгоритму процесу, а також уявлення опису на різноманітних мовах здійснюється взаємодією людини і ЕОМ. Система автоматизованого проектування - це комплеск засобів автоматизації проектування, взаємозв’язаних з необхідними підрозділами проектної організації або колективом спеціалістів (користувачем системи), які виконують автоматизоване проектування. САПР ...
... на малому , g(x,y) стала y1 = y(x0 ) + y(x0 ) + g(x0, y0 ) x Повторюючи знайдемо y2 = y(x1+x) y(x1) + g(x1, y1 ) x yn= yn-1+ g(xn-1 ,yn-1) x, (n=0,1,2…) нахил дотичної визначається початковою точкою інтервалу. 2.3. Програма для комп’ютера. Алгоритм методу. 1. Вибирається початкова умова, величина кроку і кількість ітерацій (кроків). 2. Визначається y і нахил у початковій точці ...
... мальне значення показникунадійності, при якому приймається рішення про орєінтованийзвязок назвем порогом показника надійності і позначимо (). Для можливості порівняння результатів у різних парах змінних в одній задачі системного синтезу корисно ввести відносний показник надійності. Відносним показником надійності ηij приняття рішення про напрям звязку між змінними xj → xi (стрілка в ...
... здійснювати на ведучому навчальному матеріалі. 6. Формування прийомів розумової діяльності вимагає врахування індивідуально-вікових особливостей учнів. 1.2 Формування уміння порівнювати в процесі навчання математики Порівняння в навчанні – це розумова операція, за допомогою якої встановлюються риси подібності і відмінності між визначеними предметами і явищами. Пізнання будь-якого ...
0 комментариев