Навигация
Алгебраические и трансцендентные числа
40221
знак
2
таблицы
0
изображений
3.2. Алгебраические и трансцендентные числа
Действительные числа иногда подразделяют также на алгебраические и трансцендентные.
Алгебраическими называют числа, которые являются корнями алгебраических многочленов с целыми коэффициентами, например, 
, , 4, . Все остальные (неалгебраические) числа относятся к трансцендентным. Так как каждое рациональное число p/q является корнем соответствующего многочлена первой степени с целыми коэффициентами qx –p, то все трансцендентные числа иррациональны.
Выделим характерные особенности рассмотренных (натуральных, рациональных, действительных) чисел: они моделируют только одно свойство – количество; они одномерны и все изображаются точками на одной прямой, называемой координатной осью.
4. Комплексные числа
4.1. Мнимые числа
Еще более странными, чем иррациональные, оказались числа новой природы, открытые итальянским ученым Кардано в 1545 году. Он показал, что система уравнений , не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида , . Нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что· = -.
Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считал их бесполезными и старался не употреблять.
Долгое время эти числа считали невозможными, несуществующими, воображаемыми. Декарт назвал их мнимыми, Лейбниц – «уродом из мира идей, сущностью, находящейся между бытием и небытием».
В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины.
Мнимым числам не было места на координатной оси. Однако ученые заметили, что если взять действительное число b на положительной части координатной оси и умножить его на , то получим мнимое число b, неизвестно где расположенное. Но если это число еще раз умножить на , то получим -b, то есть первоначальное число, но уже на отрицательной части координатной оси. Итак, двумя умножениями на мы перебросили число b с положительного в отрицательные, и ровно на середине этого броска число было мнимым. Так нашли место мнимым числам в точках на мнимой координатной оси, перпендикулярной к середине действительной координатной оси. Точки плоскости между мнимой и действительной осями изображают числа, найденные Кардано, которые в общем виде a + b·i содержат действительные числа а и мнимые b·i в одном комплексе (составе), поэтому называются комплексными числами.
Это был 4-ый уровень обобщения чисел.
Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVII веков была построена общая теория корней n-ных степеней сначала из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра:
С помощью этой формулы можно было также вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг.
Леонард Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу:
,
которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Эйлера можно было возводить число е в любую комплексную степень. Любопытно, например, что . Можно находить sin и cos комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел и т.д.
Долгое время даже математики считали комплексные числа загадочными и пользовались ими только для математических манипуляций. Так, швейцарский математик Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов. Чуть позже с помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, к примеру, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.
Похожие работы
... в мир кибернетики: понятие клеточного автомата и «универсального конструктора» (самовоспроизводящегося клеточного автомата). Результатом этих обманчиво простых мысленных экспериментов стало точное понятие самовоспроизведения, которое кибернетика приняла как основное понятие. Понятие, что те же самые свойства генетического воспроизводства относились к социальному миру, живым клеткам и даже ...
в и формальных систем является центральной в дисциплине. В настоящие время от нее возникли ответвления, например, разработка алгоритмических языков программирования.Одной из важнейших проблем в дискретной математики является проблема сложности вычислений.Теория сложности вычислений помогает оценить расход времени и памяти при решении задач на ЭВМ. Теория сложности позволяет выделить объективно ...
... как на вычислительную, для которой характерны алгебраические методы: - измерение площадей и объёмов; - теорема Пифагора; - измерение круга и шара; - определение расстояний до недоступных предметов. Заключение На основании всего вышеизложенного можно сделать вывод о том, что развитие математики в древнем Китае со II в. до н.э. по VII в.н.э. дало сильный толчок для дальнейшего её соверш
... Е и множество и мы рассматриваем все его подмножества, то множество Е называется униварсельным. Пример: Если за Е взять множество книг то его подмножества: художественные книги, книги по математике, физики, физики … Если универсальное множество состоит из n элементов, то число подмножеств = 2n. Если , состоящее из элементов E, не принадлежащих А, называется дополненным. Множество можно задать: ...
0 комментариев