Функция DEplot3d из пакета DEtools

13.8.3. Функция DEplot3d из пакета DEtools

В ряде случаев решение систем дифференциальных уравнений удобно представлять в виде пространственных кривых — например, линий равного уровня или просто в виде кривых в пространстве. Для этого служит функция DEplot3d.

DEplot3d(deqns, vars, trange, initset, о) DEplot3d(deqns, vars, trange, yrange, xrange, initset, o)

Назначение параметров и опций этой функции аналогично указанному для функции DEplot.

Рис. 13.52 поясняет применение функции DEplot3d для решения системы из двух дифференциальных уравнений с выводом фазового портрета колебаний в виде параметрически заданной зависимости x(t), y(t). В данном случае фазовый портрет строится на плоскости по типу построения графиков линий равной высоты.

Другой пример (рис. 13.53) показывает решение системы из двух дифференциальных уравнений с построением объемного фазового портрета. В этом случае используется координатная система ЗD-гpaфики и графические построения соответствуют параметрическим зависимостям x(t), y(t) и z(t). Вид фазового портрета напоминает разворачивающуюся в пространстве объемную спираль. Функциональная окраска ее делает график эффектным, что, увы, теряется при черно-белом воспроизведении графика.

Рис. 13.52. Пример решения системы из двух дифференциальных уравнении с помощью функции DEplot3d.

Рис. 13.53. Пример решения системы из двух дифференциальных уравнении с построением трехмерного фазового портрета.

Возможности функции DEplot позволяют решать системы дифференциальных уравнении с числом последних и больше двух — рис. 13.54, например. Однако в этом случае число решений, представляемых графически, выходит за пределы, допустимые ЗИ-графикои. При этом от пользователя зависит, какие из зависимо-

стен опускаются при построении, а какие строятся. Так, на рис. 13.54 в пространстве построены две кривые решения.

Рис. 13.54. Решение системы из четырех дифференциальных уравнении.

Нередко таким образом можно вывести на построение и иные зависимости. Однако их число обычно приходится ограничивать из-за потери наглядности графика при большом числе линий.

13.8.4. Функция PDEplot пакета DEtools

Еще одна функция пакета DEtools — DEtools[PDEplot] служит для построения графиков решения систем с квазилинейными дифференциальными уравнениями первого порядка в частных производных:

Р(х,у,и) * D[l](u)(x,y) + Q(x,y,u) * D[2](u)(x,y) = R(x,y u),

так что

P их + Q uy = R,

где P, Q и R зависят только от х, у и и(х,у), при этом dx/dt = P, dy/dt = Q, du/dt = R.

Эта функция используется в следующем виде:

PDEplot(pdiffeq, var, Lcurve, srange, о) PDEplot(pdiffeq, var, i_cLirve, srange, xrange, yrange, urange, o)

Здесь, помимо отмеченных ранее параметров, pdiffeq — квазилинейные дифференциальные уравнения первого порядка (PDE), vars — независимая переменная и Lcurve — начальные условия для параметрических кривых ЗО-поверхности. Помимо опций, указанных для функции DEplot, здесь могут использоваться следующие опции:

basechar = TRUE,FALSE,ONLY — устанавливает показ базовых характеристик кривых;

basecolour, basecolor = b_colour — устанавливает цвет базовых характеристик;

initcolour, initcolor = Lcolour — инициализация цветов;

numchar = integer — задает число отрезков кривых, которое не

должно быть меньше 4 (по умолчанию 20);

numsteps = [integerl,integer2] — задает число шагов интегрирования

(по умолчанию [10,10]).

Рис. 13.55 показывает применение функции PDEplot. Этот пример, взятый из справочной системы Maple V R4, показывает, насколько необычным может быть решение даже простой системы дифференциальных уравнений в частных производных.

Рис. 13.55. Пример применения функции PDEplot.

В данном случае решение представлено трехмерной фигурой весьма нерегулярного вида.

Другой пример использования функции PDEplot показан на рис. 13.56. Он иллюстрирует комбинированное построение графиков решения разного типа с применением функциональной закраски, реализуемой по заданной формуле с помощью опции initcolor.

Еще раз отметим, что, к сожалению, рисунки в данной книге не дают представления о цвете. Поэтому наглядность решений, видимых на экране дисплея, существенно выше.

13.8.5. Графическая функция dfieldplot

Графическая функция dfieldplot служит для построения векторного поля (поля направления) по результатам решения дифференциальных уравнений. Фактически эта функция как бы входит в функцию DEplot и при необходимости вызывается последней. Но она может использоваться и самостоятельно, что показывает

рис. 13.57, на котором показан пример решения следующей системы дифференциальных уравнений: x'(t)=x(t)*(l-y(t)), y'(t)=0.3*y(t)*(x(t)-l).

Рис. 13.56. Построение комбинированного графика с помощью функции PDEplot.

Рис. 13.57. Построение фазового портрета в виде графика векторного поля.

Обратите внимание на использование опций в этом примере, в частности на вывод надписи на рисунок на русском языке. В целом список параметров функции phaseportrait аналогичен таковому для функции DEplot (отсутствует лишь задание начальных условий).

Похожие работы

Двумерная графика системы Maple

Скачать

18394

1

6

... для работы с графикой. Также на этом же рисунке отображено контекстное меню, появляющееся при щелчке правой кнопкой мыши, когда указатель расположен в области графического вывода. При выделении двумерной графики на рабочем листе меню Insert, Spreadsheet и Options, находящиеся в строке основного меню, заменяются новыми Style, Legend. Axes, Projection, Animation и Export, которые позволяют изменить ...

Основы работы с системой MathCAD 7. 0 PRO

Скачать

78056

0

20

... Windows будем подразумевать операционные системы Windows 95 и Windows NT, имеющие практически идентичный интерфейс пользователя. С точки зрения работы в них системы MathCAD 7. 0 разницы между этими операционными системами нет. 1. 2. Инсталляция и запуск системы Системы MathCAD 7. 0 PRO поставляются на CD-ROM (возможна поставка минимальных версий и на 3, 5-дюймовых дискетах). При этом полная ...

Системы стабилизации и ориентации

Скачать

26620

1

17

... размечают в логарифмическом масштабе, где изменение частоты в 10 раз называется декадой, амплитуду  откладывают в децибелах и фазу q в градусах. 1.4 Анализ устойчивости непрерывных и дискретных систем Системы стабилизации должны обеспечивать устойчивость и заданную точность регулирования отклонений углов и координат центра масс ЛА от программных значений. При этом могут налагаться ограничения ...

Вычислительная математика

Скачать

100779

18

23

... (5.16) Непосредственное использование оценок погрешности (5.4), (5.8) и (5.12) неудобно, так как при этом требуется вычисление производных функции f(x). В вычислительной практике используются другие оценки. Вычтем из равенства (5.15) равенство (5.16): Ih/2 – Ih » Chk(2k – 1). (5.17) Учитывая приближенное равенство (5.16), получим следующее приближенное ...