Интеграл Лебега

ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Курсовая работа на тему:

«Интеграл Лебега»

Сенченко Ю. В.

Проверила: Панфилова Т. Л.

2000

Содержание.

1. Введение.

1.1.Простые функции.  

1.2.ИнтегралЛебега от простых функций.

2. Определение интнгралаЛебега.

3. Основные свойства интеграла.

4. Предельный переход под знаком интеграла.

5. Сравнение интегралов Римана и Лебега.

6. Примеры.

7. Литература.

1. Введение

Понятие интеграла Римана, известное из элементарного курса анализа, применимо лишь к таким функциям, которые или непрерывны или имеют «не слишком много» точек разрыва. Для измеримых функций, которые могут быть разрывны всюду, где они определены (или же вообще могут быть заданы на аб­страктном множестве, так что для них понятие непрерывности просто не имеет смысла), римановская конструкция интеграла становится непригодной. Вместе с тем для таких функций имеется весьма совершенное и гибкое понятие интеграла, вве­денное Лебегом.

Основная идея построения интеграла Лебега состоит в том, что здесь, в отличие от интеграла Римана, точки х группируют­ся не по признаку их близости на оси х, а по признаку близости значений функции в этих точках. Это сразу же позволяет рас­пространить понятие интеграла на весьма широкий класс функций.

Кроме того, интеграл Лебега определяется совершенно оди­наково для функций, заданных на любых пространствах с ме­рой, в то время как интеграл Римана вводится сначала для функций одного переменного, а затем уже с соответствующими изменениями переносится на случай нескольких переменных. Для функций же на абстрактных пространствах с мерой инте­грал Римана вообще не имеет смысла.

Всюду, где не оговорено противное, будет рассматриваться некоторая полная s-аддитивная мера m, определенная на s-алгебре множеств с единицей X. Все рассматриваемые множества А Ì Х будут предполагаться измеримыми, а функции f(x) - определенными для xÎ Х и измеримыми.

1.1. Простые функции.

Определение 1. Функция f(x), определенная на некото­ром пространстве Х с заданной на нем мерой, называется про­стой, если она измерима и принимает не более, чем счетное число значений.

Структура простых функций характеризуется следующей теоремой.

Теорема 1. Функция f(x), принимающая не более чем счет­ное число различных значений

y₁, y₂, … , y_n, … ,

измерима в том и только том случае, если все множества

A_n={x : ¦(x)=y_n}

 измеримы.

Доказательство. Необходимость условия ясна, так как каждое A_n есть прообраз одноточечного множества {y_n}, а вся­кое одноточечное множество является борелевским. Достаточ­ность следует из того, что в условиях теоремы прообраз f^-1(B) любого борелевского множества есть объединение не более чем счетного числа измеримых множеств A_n, т. е. измерим.

Использование простых функций в построении интеграла Ле­бега будет основано на следующей теореме.

Теорема 2. Для измеримости функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы она могла быть представлена в виде предела равномерно сходящейся последовательности простых измеримых функций.

Доказательство. Для доказательства необходимости рас­смотрим произвольную измеримую функцию f(x) и положим f_n(х)=m/п, если т/пf(x)<(m+1)/n (здесь т - целые, а п - целые положительные). Ясно, что функции f_n(x) простые; при п® они равномерно сходятся к f(x), так как çf(x)- f_n(x)ç£1/n.

1.2.Интеграл Лебега для простых функций.

Мы введем поня­тие интеграла Лебега сначала для функций, названных выше простыми, т. е. для измеримых функций, принимающих конечное или счетное число значений.

Пусть f—некоторая простая функция, принимающая зна­чения

y₁, y₂, … , y_n, … ; y_iy_j при ij,

и пусть А — некоторое измеримое подмножество X.

Естественно определить интеграл от функции f по множе­ству А равенством

=, где A_n={x: xA, f(x)=y_n}, (1) если ряд справа сходится. Мы приходим к следующему опре­делению (в котором по понятным причинам заранее постули­руется абсолютная сходимость ряда).

Определение 2. Простая функция f называется интегри­руемой или суммируемой (по мере m) на множестве A, если ряд (1) абсолютно сходится. Если f интегрируема, то сумма ряда (1) называется интегралом от f по множеству А.

В этом определении предполагается, что все у_n различны. Можно, однако, представить значение интеграла от простой функции в виде суммы произведений вида c_km(B_k) и не предпо­лагая, что все c_k различны. Это позволяет сделать следующая лемма.

Лемма. Пусть А=, B_iB_j=Æ при ij и пусть на каждом множестве B_k функция f принимает только одно значе­ние c_k; тогда

=, (2) причем функция f интегрируема на А в том и только том слу­чае, когда ряд (2) абсолютно сходится.

Доказательство. Легко видеть, что каждое множество

А_n={х: хÎА, f(x)=y_n}

 является объединением тех B_k, для которых с_k=y_n. Поэтому

==.

Так как мера неотрицательна, то

==,

т. е. ряды  и  абсолютно сходятся или расходятся одновременно. Лемма доказана.

Установим некоторые свойства интеграла Лебега от простых функций

A) =+,

причем из существования интегралов в правой части равенства следует существование интеграла в левой.

Для доказательства предположим, что f принимает значения f_i на множествах F_i Ì A, a g — значения g_j на множествах G_j Ì A, так что

J₁==, (3)

J₂==. (4)

Тогда в силу леммы

J==; (5)

так что из абсолютной сходимости рядов (3) и (4) следует и абсолютная сходимость ряда (5); при этом

J=J₁+J₂.

Б) Для любого постоянного k

=k,

причем из существования интеграла в правой части следует су­ществование интеграла в левой части. (Проверяется непосред­ственно.)

В) Ограниченная на множестве А простая функция f инте­грируема на А, причем, если ½f(x)½£ M на A, то

½½£ M_m(A).

(Проверяется непосредственно.)

Похожие работы

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Скачать

57792

0

12

... 2.6 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана Пусть функция  непрерывна в промежутке , а  монотонно возрастает в этом промежутке, и притом в строгом смысле. Тогда, как показал Лебег, интеграл Стилтьеса  с помощью подстановки  непосредственно приводится к интегралу Римана. На рисунке изображен график функции . Для тех значений , при которых функция  испытывает скачок (ибо мы вовсе ...

Сингулярные интегралы

Скачать

19979

0

3

... функции стремятся к нулю при . Если соотношение (7) имеет место для всякой суммируемой на [a, b] функции f (t), то мы будем говорить, что последовательность  слабо сходится к нулю. §2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке Во всем дальнейшем будем считать, что ядро  при фиксированных n и x ограничено. Тогда сингулярный интеграл  имеет смысл при любой ...

Оценки спектральных радиусов

Скачать

52686

0

17

... и в том случае, когда интегральный оператор (3) действует в пространстве C(W) и неразложим в этом пространстве относительно конуса неотрицательных функций пространства C(W). Получению оценок спектрального радиуса положительного оператора по информации о поведении этого оператора на фиксированном ненулевом элементе конуса  посвящена достаточно обширная литература [21], [11], [13], [18], [26], ...

Математическая кунсткамера кое-что из истории геометрии

Скачать

22026

0

3

... интегралы всех разрывных функций, которые можно было построить известными в то время методами (интеграл Лебега). Триумф идей Лебега привел к тому, что даже один из вождей математиков – классиков Гастон Дарбу изменил свое мнение и, выступая в 1908г. на Математическом конгрессе в Риме, говорил о пламенном и пытливом духе математики ХХ в., о науке, ведущей свои изыскания в абсолютно новой области с ...