Навигация
6. Примеры
1) Вычислить интеграл Лебега от функции 
на интервале (1; 2).
Строим срезку
N, f(x) ³ N,
fN(x) =
f(x), f(x) < N.
= N,
x = 1 + 
.
= 
,
= 
+ 
= Nx
+ 
= N
- N + 
-
- 
= 
+ - = - 
+ ,
= 
= ,
(L)
= .
2) Суммируемы ли функции 
и 
на интервале (0; 1).
f(x) = .
Строим срезку
= N,
x = 
.
= 
+ 
= 
+ 
= 1 - 
= 1 + 
,
= = (1 + ) = +¥,
значит функция f(x) = суммируемой не является.
f(x) = .
Строим срезку
= N,
x = 
.
= 
+ 
= 
- 
= 
- (1 - 
) = - 1 + =
= 2 - 1,
= = (2 - 1) = +¥,
значит функция f(x) = суммируемой не является.
3) Суммируема ли функция f(x) = на отрезке [-1; 1], где f(0) = 0.
, x > 0 0 , x ³ 0
= 
=
0 , x £ 0 
, x < 0
= 
- 
.
Строим срезку
N = ,
x = .
(L)
= 
= 
= 
=
= 
= 
= +¥.
Строим срезку
N = ,
x = 
.
(L)
= 
= 
= 
=
= 
= 
= +¥,
значит функция f(x) = не является суммируемой на [-1 ;1].
4) Суммируема ли функция f(x) = 
на [1; 3], где f(2) = 1.
, x > 2 0, x ³ 2
= 0, x < 2 =
1, x = 2 
, x < 2
Строим срезку
= N,
x = 2 + .
(L)
= 
= 
=
= 
= 
=
= 
=
= .
Строим срезку
= N,
x = 2 - .
(L)
= 
= 
= 
= 
=
функция f(x) суммируема на [1; 3].
7. Литература
1) Колмогоров, Фомин «Элементы функционального анализа».
2) Натансон И. П. «Теория функций вещественной переменной», С-П, 1999.
3) Очан «Сборник задач по математическому анализу».
Похожие работы
... 2.6 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана Пусть функция непрерывна в промежутке , а монотонно возрастает в этом промежутке, и притом в строгом смысле. Тогда, как показал Лебег, интеграл Стилтьеса с помощью подстановки непосредственно приводится к интегралу Римана. На рисунке изображен график функции . Для тех значений , при которых функция испытывает скачок (ибо мы вовсе ...
... функции стремятся к нулю при . Если соотношение (7) имеет место для всякой суммируемой на [a, b] функции f (t), то мы будем говорить, что последовательность слабо сходится к нулю. §2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке Во всем дальнейшем будем считать, что ядро при фиксированных n и x ограничено. Тогда сингулярный интеграл имеет смысл при любой ...
... и в том случае, когда интегральный оператор (3) действует в пространстве C(W) и неразложим в этом пространстве относительно конуса неотрицательных функций пространства C(W). Получению оценок спектрального радиуса положительного оператора по информации о поведении этого оператора на фиксированном ненулевом элементе конуса посвящена достаточно обширная литература [21], [11], [13], [18], [26], ...
... интегралы всех разрывных функций, которые можно было построить известными в то время методами (интеграл Лебега). Триумф идей Лебега привел к тому, что даже один из вождей математиков – классиков Гастон Дарбу изменил свое мнение и, выступая в 1908г. на Математическом конгрессе в Риме, говорил о пламенном и пытливом духе математики ХХ в., о науке, ведущей свои изыскания в абсолютно новой области с ...
0 комментариев