Навигация
0 £ S – s £ lmE. (2)
Основное свойство сумм Лебега выражает
Лемма. Пусть некоторому способу дробления сегмента [А, В] отвечают суммы Лебега s0 и S0. Если ми добавим новую точку дробления 
и снова найдем суммы Лебега s и S, то окажется
s0 £ s, S £ S0.
Иначе говоря, от добавления новых точек деления нижняя сумма не уменьшается, а верхняя не увеличивается.
Доказательство. Допустим, что
yi < 
< yi+1. (3)
Тогда при k ¹ i полусегменты [yk, уk+1), а с ними и множества ek, фигурируют и в новом способе дробления. Полусегмент же [yi, yi+1) при переходе к новому способу заменяется двумя полусегментами
[yi,), [, yi+1),
в связи с чем и множество ei разбивается на два множества
= E(yi £ f < ), 
= E(£ f < yi+1).
Очевидно, что
ei = +, = 0,
так что
mei = m + m. (4)
Из сказанного ясно, что сумма s получается из суммы s0 заменой слагаемого yimei двумя слагаемыми yim + m, откуда, в связи с (3) и с (4), и следует, что s ³ s0.
Для верхних сумм рассуждение аналогично.
Следствие. Ни одна нижняя сумма s не больше ни одной верхней суммы S.
Доказательство. Рассмотрим два каких-нибудь способа дробления I и II, сегмента [А, В]. Пусть этим способам отвечают соответственно нижние суммы s1 и s2 и верхние суммы S1 и S2.
Составим третий способ дробления [А, В] - способ III, в котором точками деления служат точки деления обоих способов I и II. Если способу III отвечают суммы s3 и S3, то, в силу леммы, s1 £ s3, S3 £ S2, откуда, в связи с тем, что s3 £ S3, ясно, что s1 £ S2, а это и требовалось доказать.
Выберем какую-нибудь определенную верхнюю сумму S0. Так как для всякой нижней суммы s будет s £ S0, то множество {s} всех нижних сумм Лебега оказывается ограниченный сверху. Пусть U есть его точная верхняя граница U = sup{s}.
Тогда, ясно, что
U £ S0.
Ввиду произвольности суммы S0, последнее неравенство доказывает, что множество {S} всех верхних сумм Лебега ограничено снизу. Назовем через V его точную нижнюю границу
V = inf{S}.
Очевидно, при любом способе дробления будет
S £ U £ V £ S.
Но, как мы отмечали, S – s £ lmE, откуда
0 £ V – U £ lmE
и, так как l произвольно мало, то
U = V.
Определение. Общее значение чисел U и V называется интегралом Лебега функции f(x) по множеству Е и обозначается символом
(L)
В тех случаях, когда смешение с другими видами интеграла исключено, пишут просто
В частности, если Е есть сегмент [а, b], употребляют символы
(L)
Из сказанного выше следует, что каждая измеримая ограниченная функция интегрируема в смысле Лебега, или, короче, интегрируема (L). Уже из этого замечания видно, что процесс интегрирования (L) приложим к гораздо более широкому классу функций, чем процесс интегрирования (R). В частности, совершенно отпадают все вопросы, связанные с признаками интегрируемости, которые для интегралов (R) имеют сравнительно сложный характер.
Теорема 1. Если l ® 0, то суммы Лебега s и S стремятся
к интегралу
Теорема непосредственно вытекает из неравенств
S £ 
£ S, S – s £ l× mE.
Из этой теоремы, между прочим, следует, что значение интеграла Лебега, которое в силу самого определения его связано с числами А и В, на самом деле от них не зависит.
Действительно, допустим, что
A < f(x) < В, A < f(x) <B*,
причем В* < В. Раздробим сегмент [А, В] на части
A = у0 < у1 < ¼ < yn= В,
причем включим и точку В* в число точек деления В* = ут.
Если мы составим множества ek, то легко убедиться, что
ek = 0 (k ³ m).
Значит,
s = 
= 
= s*,
где s* есть нижняя сумма Лебега, построенная, исходя из сегмента [А, В*]. Сгущая точки дробления и переходя к пределу, найдем, что
I = I*,
где I и I* суть значения интегралов Лебега, отвечающие сегментам [А, В] и [А, В*]. Таким образом, изменение числа В не отражается на величине интеграла. То же относится и к числу А. Этот факт весьма существенен, ибо только теперь определение интеграла оказывается освобожденным от случайного характера выбора точек А и В.
Похожие работы
... 2.6 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана Пусть функция непрерывна в промежутке , а монотонно возрастает в этом промежутке, и притом в строгом смысле. Тогда, как показал Лебег, интеграл Стилтьеса с помощью подстановки непосредственно приводится к интегралу Римана. На рисунке изображен график функции . Для тех значений , при которых функция испытывает скачок (ибо мы вовсе ...
... функции стремятся к нулю при . Если соотношение (7) имеет место для всякой суммируемой на [a, b] функции f (t), то мы будем говорить, что последовательность слабо сходится к нулю. §2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке Во всем дальнейшем будем считать, что ядро при фиксированных n и x ограничено. Тогда сингулярный интеграл имеет смысл при любой ...
... и в том случае, когда интегральный оператор (3) действует в пространстве C(W) и неразложим в этом пространстве относительно конуса неотрицательных функций пространства C(W). Получению оценок спектрального радиуса положительного оператора по информации о поведении этого оператора на фиксированном ненулевом элементе конуса посвящена достаточно обширная литература [21], [11], [13], [18], [26], ...
... интегралы всех разрывных функций, которые можно было построить известными в то время методами (интеграл Лебега). Триумф идей Лебега привел к тому, что даже один из вождей математиков – классиков Гастон Дарбу изменил свое мнение и, выступая в 1908г. на Математическом конгрессе в Риме, говорил о пламенном и пытливом духе математики ХХ в., о науке, ведущей свои изыскания в абсолютно новой области с ...
0 комментариев