Сравнение интегралов Римана и Лебега

5. Сравнение интегралов Римана и Лебега

Пусть на сегменте [а, b] задана (не обязательно конечная) функ­ция f(х). Пусть

x₀ Î [a, b] и d > 0. Обозначим через m_d(x₀) и М_d(х₀) соответственно точную нижнюю и точную верхнюю границы функ­ции f(x) на интервале (х₀ - d, x₀ + d)

m_d(x₀) = inf{f(x)}, M_d(x₀) = sup{f(x)} (х₀ - d < x < x₀ + d).

(Само собою разумеется, что мы принимаем во внимание лишь те точки интервала

(х₀ - d, x₀ + d), которые лежат также и на сег­менте [а, b].)

Очевидно,

m_d(x₀) £ f(x₀) £ M_d(x₀).

Если d уменьшается, то m_d(x₀) не убывает, a M_d(x₀) не возра­стает. Поэтому существуют определенные пределы

m(x₀) = m_d(x₀), M_d(x₀) = M_d(x₀),

причем, очевидно,

m_d(x₀) £ m(x₀) £ f(x₀) £ M(x₀) £ M_d(x₀).

Определение. Функции т(х) и М(х) называются соответственно нижней и верхней функциями Бэра для функции f(x).

Теорема 1 (Р. Бэр). Пусть функция f(х) конечна в точке х₀. Для того чтобы f(x) была в этой точке непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы было

m(x₀) = M(x₀). (*)

Доказательство. Допустим, что функция f(х) непрерывна в точке x₀. Взяв произвольное e > 0, найдем такое d > 0, что как только

 < d,

так сейчас же

 < e.

Иначе говоря, для всех х Î (х₀ - d, x₀ + d) будет

f(x₀) - e < f(x) < f(x₀) + e.

Но отсюда следует, что

f(x₀) - e £ m_d(x₀) £ M_d(x₀) £ f(x₀) + e,

а стало быть, и тем более

f(x₀) - e £ m(x₀) £ M(x₀) £ f(x₀) + e,

откуда, ввиду произвольности e, и вытекает (*). Итак, необходимость условия (*) доказана.

Пусть теперь, обратно, дано, что (*) выполнено. Тогда, оче­видно,

m(x₀) = M(x₀) = f(x₀)

и общее значение функций Бэра в точке x₀ конечно.

Возьмем произвольное e > 0 и найдем столь малое d > 0, что

m(x₀) - e < m_d(x₀) £ m(x₀), M(x₀) £ M_d(x₀) < M(x₀) + e.

Эти неравенства означают, что

f(x₀) - e < m_d(x₀), M_d(x₀) < f(x₀) + e.

Если теперь x Î (х₀ - d, x₀ + d), то f(x) лежит между m_d(x₀) и M_d(x₀), так что

f(x₀) - e < f(x) < f(x₀) + e.

Иначе говоря, из того, что  < d вытекает, что

 < e,

т. е. функция f(x) непрерывна в точке х₀.

Основная лемма. Рассмотрим последовательность дроблений сегмента [а, b]

a =  <  < ¼ < = b

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a =  <  < ¼ <  = b

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

причем при i ® ¥

li = max[-] ® 0.

Пусть  есть точная нижняя граница значений функции f(x) на сегменте

[, ]. Введем функцию j_i(x), полагая

j_i(x) =  при x Î (, )

j_i(x) = 0 при x = , , ¼ , .

Если х₀ не совпадает ни с одной точкой  (I = 1, 2, 3, ¼ ; k = 0, 1, 2, ¼ , n_i), то

j_i(x₀) = m(x₀).

Доказательство. Фиксируем какое-нибудь i и назовем че­рез [, ] тот из сегментов i-го способа дробления, который содержит точку х₀. Так как х₀ не совпадает ни с одной из точек деления, то

 < x₀ <

и, следовательно, при достаточно малых d > 0 будет

(х₀ - d, x₀ + d) Ì [, ],

откуда следует, что

 £ m_d(x₀)

или, что то же самое, что

j_i(x₀) £ m_d(x₀).

Устремив d к нулю и перейдя к пределу, находим, что при лю­бом i

j_i(x₀) £ m(x₀).

Этим самым лемма уже доказана для случая т(х₀) = - ¥. Пусть т(х₀) > - ¥ и пусть

h < m(x₀).

Тогда найдется такое d > 0, что m_d(x₀) > h.

Фиксировав это d, найдем столь большое i₀, что при i > i₀ будет

[, ] Ì (х₀ - d, x₀ + d),

где, как и выше, [, ] есть сегмент, содержащий точку х₀. Существование такого i₀ следует из условия l_i ® 0.

Для таких i будет

 ³ m_d(x₀) > h,

или, что то же самое,

j_i(x₀) > h.

Итак, для всякого h < m(x₀) найдется такое i₀, что при i > i₀

h < j_i(x₀) £ m(x₀),

а это и значит, что j_i(x₀) ® m(x₀). Лемма доказана.

Следствие 1. Функции Бэра т(х) и М(х) измеримы.

В самом деле, множество точек деления {} счетно и, стало быть, имеет меру нуль. Поэтому лемма означает, что j_i(x) ® m(x)  почти везде.

Но j_i(x) измерима, ибо это ступенчатая функция, значит изме­рима я функция т(x). Для верхней функции Бэра М(х) рассужде­ние аналогично.

Следствие 2. Если в условиях леммы исходная функция f(x) ограничена, то

(L) ® (L) .

Действительно, если £ K, то, очевидно,

 £ K,  £ K,

откуда прежде всего следует, что эти функции интегрируемы (L), после чего остается сослаться на теорему Лебега о предельном пе­реходе под знаком интеграла.

Перефразируем теперь следствие 2. Для этого заметим, что

(L)  =  =  = s_i,

где s_i есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая i-му способу дробле­ния. Таким образом, следствие 2 означает, что при i ® ¥

s_i ® (L) .

Аналогично можно установить, что верхняя сумма Дарбу S_i при возрастании i стремится к интегралу от верхней функции Бэра

S_i® (L) .

Но в таком случае

S_i - s_i ® (L) .

С другой стороны, в курсе Анализа устанавливается, что для того, чтобы ограниченная функция f(x) была интегрируема (R), необходимо и достаточно, чтобы было S_i – s_i ® 0.

Сопоставляя это со сказанным выше, мы видим, что для инте­грируемости (R) функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы было

(L)  = 0.  (1)

Условие (1) во всяком случае выполнено, если разность М(х) - т(х) эквивалентна нулю, но так как эта разность неотри­цательна, то и обратно из (1) следует, что

т(х) ~ М(х). (2)

Итак, интегрируемость (R) ограниченной функции f(x) равно­сильна соотношению (2).

Сопоставив этот результат с теоремой 1, получаем следующую теорему.

Теорема 2 (А. Лебег). Для того чтобы ограниченная функ­ция f(x) была интегрируема (R),необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна почти везде.

Эта замечательная теорема представляет собой наиболее простой и ясный признак интегрируемости (R). В частности, она оправды­вает сделанное в пункте 2 замечание, что интегрируемыми (R) могут быть только «не очень разрывные» функции.

Допустим теперь, что функция f(x) интегрируема (R). Тогда она необходимо ограничена и почти везде будет

т(х) = М(х).

Но ведь

т(х) £ f(x) £ М(х).

Значит, почти везде

f(x) = m(x),

и f(x), будучи эквивалентна измеримой функции т(х), измерима сама. Так как всякая ограниченная измеримая функция интегри­руема (L), то такова же и f(x), т. е. из интегрируемости какой-нибудь функции в смысле Римана вытекает ее интегрируемость в смысле Лебега.

Наконец, из эквивалентности функций f(x) и т(х) следует, что

(L)  = (L) .

Но, как известно из курса Анализа, в условиях основной леммы для интегрируемой (R) функции f(x) будет

s_i ® (R),

где s_i есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая i-му способу дробле­ния. Сопоставляя это с тем, что, как показано нами,

s_i ® (L) ,

мы видим, что

(R) = (L) .

Таким образом, имеет место

Теорема 3. Всякая функция, интегрируемая (R), необходимо интегрируема и (L), и оба ее интеграла равны между собой.

В заключение отметим, что функция Дирихле y(x) (равная нулю в иррациональных и единице в рациональных точках) интегри­руема (L) (ибо она эквивалентна нулю), но, как мы видели в пункте 2, не интегрируема (R), так что теорема 3 не обратима.