Абстрактная теория групп
1.Понятие алгебраической операции.
Говорят, что
на множестве
X определена
алгебраическая
операция
(*), если
каждой упорядоченной
паре элементов
поставлен в
соответствие
некоторый
элемент
называемый
их произведением.
Примеры.
Композиция перемещений на множествах является алгебраической операцией.
Композиция подстановок является алгебраической операцией на множестве всех подстановок степени n.
Алгебраическими операциями будут и обычные операции сложения, вычитания и умножения на множествах соответственно целых, вещественных и комплексных чисел. Операция деления не будет алгебраической операцией на этих множествах, поскольку частное
не определено при
. Однако на множествах
,
это будет алгебраическая операция.
Сложение векторов является алгебраической операцией на множестве .
Векторное произведение будет алгебраической операцией на множестве .
Умножение матриц будет алгебраической операцией на множестве всех квадратных матриц данного порядка.
2.Свойства алгебраических операций.
Операция (*) называется ассоциативной, если .
Это
свойство выполняется
во всех приведенных
выше примерах,
за исключением
операций вычитания
( и деления) и
операции векторного
умножения
векторов. Наличие
свойства
ассоциативности
позволяет
определить
произведение
любого конечного
множества
элементов.
Например, если
,
.
В частности
можно определить
степени с натуральным
показателем:
.
При этом имеют
место обычные
законы:
,
.
2.
Операция (*)
называется
коммутативной,
если
В
приведенных
выше примерах
операция коммутативна
в примерах 3 и
4 и не коммутативна
в остальных
случаях. Отметим,
что для коммутативной
операции
Элемент называется нейтральным для алгебраической операции (*) на множестве X, если
. В примерах 1-6 нейтральными элементами будут соответственно тождественное перемещение, тождественная перестановка, числа 0 и 1 для сложения и умножения соответственно (для вычитания нейтральный элемент отсутствует !), нулевой вектор, единичная матрица. Для векторного произведения нейтральный элемент отсутствует. Отметим, что нейтральный элемент (если он существует) определен однозначно. В самом деле, если
- нейтральные элементы, то
. Наличие нейтрального элемента позволяет определить степень с нулевым показателем:
.
Допустим, что для операции (*) на X существует нейтральный элемент. Элемент называется обратным для элемента
, если
. Отметим, что по определению
. Все перемещения обратимы также как и все подстановки. Относительно операции сложения все числа обратимы, а относительно умножения обратимы все числа, кроме нуля. Обратимые матрицы - это в точности все матрицы с ненулевым определителем. Если элемент x обратим, то определены степени с отрицательным показателем:
. Наконец, отметим, что если x и y обратимы, то элемент
также обратим и
. (Сначала мы одеваем рубашку, а потом куртку; раздеваемся же в обратном порядке!).
Определение (абстрактной) группы.
Пусть на множестве G определена алгебраическая операция (*). (G ,*) называется группой, если
Операция (*) ассоциативна на G.
Для этой операции существует нейтральный элемент e (единица группы).
Каждый элемент из G обратим.
Примеры групп.
Любая группа преобразований.
(Z, +), (R, +), (C, +).
Матричные группы: - невырожденные квадратные матрицы порядка n, ортогональные матрицы того же порядка, ортогональные матрицы с определителем 1.
Простейшие свойства групп.
В любой группе выполняется закон сокращения: (левый закон сокращения; аналогично, имеет место и правый закон). Доказательство. Домножим равенство слева на
и воспользуемся свойством ассоциативности:
.
Признак нейтрального элемента:
Доказательство Применим к равенству закон сокращения.
Признак обратного элемента: Доказательство Применим закон сокращения к равенству
.
Единственность обратного элемента. Обратный элемент определен однозначно. Следует из п.3.
Существование обратной операции. Для любых двух элементов произвольной группы G уравнение
имеет и притом единственное решение. Доказательство Непосредственно проверяется, что
(левое частное элементов
) является решением указанного уравнения. Единственность вытекает из закона сокращения, примененного к равенству
. Аналогично устанавливается существование и единственность правого частного.
Изоморфизм групп.
Определение.
Отображение двух групп G и K называется изоморфизмом , если
1.Отображение j взаимно однозначно. 2.Отображение j сохраняет операцию: .
Поскольку отображение обратное к j также является изоморфизмом, введенное понятие симметрично относительно групп G и K , которые называются изоморфными.
Примеры.
1.Группы поворотов плоскости и
вокруг точек
и
изоморфны между собой. Аналогично, изоморфными будут и группы, состоящие из поворотов пространства относительно любых двух осей.
2.Группа диэдра
и соответствующая
пространственная
группа
изоморфны.
Группа тетраэдра T изоморфна группе состоящей из четных подстановок четвертой степени. Для построения изоморфизма достаточно занумеровать вершины тетраэдра цифрами 1,2,3,4 и заметить, что каждый поворот, совмещающий тетраэдр с собой некоторым образом переставляет его вершины и, следовательно, задает некоторую подстановку множества{1,2, 3, 4} Повороты вокруг оси, проходящей через некоторую вершину (например 1), оставляет символ 1 на месте и циклически переставляет символы 1, 2, 3. Все такие перестановки - четные. Поворот вокруг оси, соединяющей середины ребер (например, 12 и 34 ) переставляет символы 1 и 2 , а также 3 и 4. Такие перестановки также являются четными.
Формула определяет взаимно однозначное соответствие между множеством R вещественных чисел и множеством
положительных чисел. При этом
. Это означает, что
является изоморфизмом.
Замечание. В абстрактной алгебре изоморфные группы принято считать одинаковыми. По существу это означает, что игнорируются индивидуальные свойства элементов группы и происхождение алгебраической операции.
Понятие подгруппы.
Непустое подмножество
называется
подгруппой,
если
само
является группой.
Более подробно
это означает,
что
,
и
.
Признак подгруппы.
Непустое
подмножество
будет подгруппой
тогда и только
тогда, когда
.
Доказательство.
В
одну сторону
это утверждение
очевидно. Пусть
теперь -
любой элемент.
Возьмем
в признаке
подгруппы.
Тогда получим
.
Теперь возьмем
.
Тогда получим
.
Примеры подгрупп.
Для групп преобразований новое и старое понятие подгруппы равносильны между собой.
- подгруппа четных подстановок.
и т.д.
Пусть G - любая группа и - любой фиксированный элемент. Рассмотрим множество
всевозможных степеней этого элемента. Поскольку
, рассматриваемое множество является подгруппой. Она называется циклической подгруппой с образующим элементом g .
Пусть любая подгруппа Рассмотрим множество
- централизатор подгруппы H в группе G. Из определения вытекает, что если
, то
, то есть
. Теперь ясно, что если
, то и
и значит централизатор является подгруппой. Если группа G коммутативна, то
. Если G=H, то централизатор состоит из тех элементов, которые перестановочны со всеми элементами группы; в этом случае он называется центром группы G и обозначается Z(G).
Замечание об аддитивной форме записи группы.
Иногда, особенно когда операция в группе коммутативна, она обозначается (+) и называется сложением. В этом случае нейтральный элемент называется нулем и удовлетворяет условию: g+0=g. Обратный элемент в этом случае называется противоположным и обозначается (-g). Степени элемента g имеют вид g+g+...+g , называются кратными элемента g и обозначаются ng.
Абстрактная теория групп
(продолжение)
Существует несколько способов связать с данной абстрактной группой некоторую группу преобразований. В дальнейшем, если не оговорено противное, знак алгебраической операции в абстрактной группе будет опускаться.
Пусть
некоторая
подгруппа.
А)
Для каждого
определим
отображение
(левый
сдвиг на элемент
h)
формулой
.
Теорема 1
Множество L(H,G)= является группой преобразований множества G.
Соответствие: является изоморфизмом групп H и L(H,G).
Доказательство.
Надо проверить, что отображение взаимно однозначно для всякого
. Если
, то
по закону сокращения. Значит
инъективно. Если
любой элемент, то
и
так что
к тому же и сюръективно.
Обозначим через · операцию композиции в группе Sym(G) взаимно однозначных отображений . Надо проверить, что
и
. Пусть
любой элемент. Имеем:
;
и значит,
.
Пусть . Надо проверить, что l взаимно однозначно и сохраняет операцию. По построению l сюръективно. Инъективность вытекает из закона правого сокращения:
. Сохранение операции фактически уже было установлено выше:
.
Следствие.
Любая абстрактная группа изоморфна группе преобразований некоторого множества (Достаточно взять G=H и рассмотреть левые сдвиги).
Для случая конечных групп получается теорема Кэли:
Любая
группа из n
элементов
изоморфна
подгруппе
группы подстановок
степени n.
Для каждого определим отображение
(правый сдвиг на элемент h) формулой
.
Теорема B.
.
Множество является группой преобразований множества G.
Соответствие является изоморфизмом групп H и R(H,G).
Доказательство
теоремы B
вполне аналогично
доказательству
теоремы A.
Отметим только,
что .
Именно поэтому
в пункте 3 теоремы
В появляется
не
,
а
.
С)
Для каждого
определим
(сопряжение
или трансформация
элементом h
) формулой
.
Теорема С.
Каждое отображение является изоморфизмом группы G с собой (автоморфизмом группы G).
Множество является группой преобразований множества G.
Отображение сюръективно и сохраняет операцию.
Доказательство.
Поскольку , отображение
взаимно однозначно как композиция двух отображений такого типа. Имеем:
и потому
сохраняет операцию.
Надо проверить, что и
. Оба равенства проверяются без труда.
Сюръективность отображения имеет место по определению. Сохранение операции уже было проверено в пункте 2.
Замечание об инъективности отображения q.
В
общем случае
отображение
q не является
инъективным.
Например, если
группа H
коммутативна,
все преобразования
будут тождественными
и группа
тривиальна.
Равенство
означает,
что
или
(1) В связи
с этим удобно
ввести следующее
определение:
множество
называется
централизатором
подгруппы
.
Легко проверить,
что централизатор
является подгруппой
H.
Равенство (1)
означает, что
.
Отсюда вытекает,
что если централизатор
подгруппы H
в G
тривиален,
отображение
q является
изоморфизмом.
Смежные классы; классы сопряженных элементов.
Пусть, как и
выше,
некоторая
подгруппа.
Реализуем H
как группу
L(H,G) левых
сдвигов на
группе G.
Орбита
называется
левым смежным
классом группы
G по
подгруппе H.
Аналогично,
рассматривая
правые сдвиги,
приходим к
правым смежным
классам
.Заметим,
что
стабилизатор
St(g, L(H,G)) (как и St(g,
R(H,G)) ) тривиален
поскольку
состоит из
таких элементов
,
что hg=g
.
Поэтому, если
группа H
конечна, то
все левые и
все правые
смежные классы
состоят из
одинакового
числа элементов,
равного
.
Орбиты группы
называются
классами
сопряженных
элементов
группы G
относительно
подгруппы H
и обозначаются
Если G=H,
говорят просто
о классах сопряженных
элементов
группы G.
Классы сопряженных
элементов могут
состоять из
разного числа
элементов . Это
число равно
,
где Z(H,g)
подгруппа
H ,
состоящая из
всех элементов
h
перестановочных
с g.
Пример.
Пусть
-
группа подстановок
степени 3. Занумеруем
ее элементы:
=(1,2,3);
=(1,3,2);
=(2,1,3);
=(2,3,1);
=(3,1,2);
=(3,2,1).
Пусть
.
Легко проверить,
что левые смежные
классы суть:
,
,
.
Правые смежные классы:
,
,
.
Все эти классы состоят из 2 элементов.
Классы сопряженных элементов G относительно подгруппы H:
,
,
,
.
В то же время,
,
,
.
Теорема Лагранжа.
Пусть H подгруппа конечной группы G. Тогда порядок H является делителем порядка G.
Доказательство.
По
свойству орбит
G
представляется
в виде объединения
непересекающихся
смежных классов: .
Поскольку все
смежные классы
состоят из
одинакового
числа элементов,
,
откуда и вытекает
теорема.
Замечание.
Число s
левых (или
правых) смежных
классов называется
индексом подгруппы
.
Следствие.
Две конечные подгруппы группы G порядки которых взаимно просты пересекаются только по нейтральному элементу.
В
самом деле,
если
эти подгруппы,
то
их общая подгруппа
и по теореме
Лагранжа
- общий делитель
порядков H
и K
то есть 1.
Пусть
любая подгруппа
и
-любой
элемент. Тогда
также
является подгруппой
G
притом изоморфной
H,
поскольку
отображение
сопряжения
является
изоморфизмом.
Подгруппа
называется
сопряженной
по отношению
к подгруппе
H.
Определение.
Подгруппа
H называется
инвариантной
или нормальной
в группе G,
если все сопряженные
подгруппы
совпадают с
ней самой: .
Равенство
можно
записать в виде
Hg = gH и
таким образом,
подгруппа
инвариантна
в том и только
в том случае,
когда левые
и правые смежные
классы по этой
подгруппе
совпадают.
Примеры.
В коммутативной группе все подгруппы нормальны, так как отображение сопряжения в такой группе тождественно.
В любой группе G нормальными будут , во первых, тривиальная подгруппа и, во вторых, вся группа G. Если других нормальных подгрупп нет, то G называется простой.
В рассмотренной выше группе подгруппа
не является нормальной так как левые и правые смежные классы не совпадают. Сопряженными с H будут подгруппы
и
.
Если - любая подгруппа, то ее централизатор Z = Z(H,G) - нормальная подгруппа в G , так как для всех ее элементов z
. В частности, центр Z(G) любой группы G -нормальная подгруппа.
Подгруппа H индекса 2 нормальна. В самом деле, имеем 2 смежных класса : H и Hg = G-H = gH.
Теорема (свойство смежных классов по нормальной подгруппе).
Если
подгруппа H
нормальна
в G,
то множество
всевозможных
произведений
элементов из
двух каких либо
смежных классов
по этой подгруппе
снова будет
одним из смежных
классов, то
есть .
Доказательство.
Очевидно,
что для любой
подгруппы H .Но
тогда
=
=
=
.
Таким образом,
в случае нормальной
подгруппы H
определена
алгебраическая
операция на
множестве
смежных классов.
Эта операция
ассоциативна
поскольку
происходит
из ассоциативного
умножения в
группе G.
Нейтральным
элементом для
этой операции
является смежный
класс .
Поскольку
,
всякий смежный
класс имеет
обратный. Все
это означает,
что относительно
этой операции
множество всех
(левых или правых)
смежных классов
по нормальной
подгруппе
является группой.
Она называется
факторгруппой
группы G
по H
и обозначается
G/H.
Ее порядок
равен индексу
подгруппы H
в G.
Абстрактная теория групп
(продолжение)
ывает канонический вид произвольных линейных преобразований, а именно: 1) нормальную форму линейного преобразования; 2) применение произвольного преобразования к нормальной форме: а) собственные и присоединенные векторы линейного преобразования; b) выделение подпространства, в котором преобразование А имеет только одно собственное значение; с) приведение к нормальной форме ...
... гомоморфизм . K= - подгруппа Z и значит K=mZ для некоторого целого m. Отсюда следует, что H= . При этом и потому n=dm где d - целое. По теореме о гомоморфизме . Из доказанных теорем следует, что всякая подгруппа циклической группы циклична. Мы видим также, что для каждого целого d, делящего порядок n конечной циклической группы имеется и притом ровно одна подгруппа порядка d, то есть для ...
... так как ему отвечает (однозначно определенная !) обратная матрица. 5. Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме производятся по обычным правилам алгебры с учетом того, что . Таким образом, (a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad - bc)i . Действия над кватернионами, записанными в виде z + wj производятся по обычным правилам алгебры ...
... лучей, исходящих из одной точки, называется многогранным выпуклым конусом с вершиной в данной точке. 1.4 Математические основы решения задачи линейного программирования графическим способом 1.4.1 Математический аппарат Для понимания всего дальнейшего полезно знать и представлять себе геометрическую интерпретацию задач линейного программирования, которую можно дать для случаев n = 2 и n = ...
0 комментариев