Навигация
10 Циклические группы.
Пусть G
произвольная
группа и 
-
любой ее элемент.
Если некоторая
подгруппа 
содержит g
, то она содержит
и все степени
.
С другой стороны,
множество
очевидно
является подгруппой
G .
Определение.
Подгруппа Z(g) называется циклической подгруппой G с образующим элементом g. Если G = Z(g) , то и вся группа G называется циклической.
Таким образом, циклическая подгруппа с образующим элементом g является наименьшей подгруппой G, содержащей элемент g.
Примеры
Группа Z целых чисел с операцией сложения является циклической группой с образующим элементом 1.
Группа 
поворотов плоскости на углы кратные 2p¤n является циклической с образующим элементом 
- поворотом на угол 2p¤n. Здесь n = 1, 2, ...
Теорема о структуре циклических групп.
Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z. Циклическая группа порядка n изоморфна Z / nZ .
Доказательство.
Пусть
G = Z(g) -
циклическая
группа. По
определению,
отображение
-
сюръективно.
По свойству
степеней 
и потому j
- гомоморфизм.
По теореме о
гомоморфизме
.
H = KerjМZ.
Если H
- тривиальная
подгруппа, то
.
Если H
нетривиальна,
то она содержит
положительные
числа. Пусть
n -
наименьшее
положительное
число входящее
в H.
Тогда nZМH.
Предположим,
что в H
есть и другие
элементы то
есть целые
числа не делящееся
на n
нацело и k
одно из них.
Разделим k
на n
с остатком:
k = qn +r , где 0
< r < n. Тогда r
= k - qn О
H , что противоречит
выбору n.
Следовательно,
nZ = H и
теорема доказана.
Отметим,
что »
Z / nZ .
Замечание.
В процессе доказательства было установлено, что каждая подгруппа группы Z имеет вид nZ , где n = 0 ,1 , 2 ,...
Определение.
Порядком
элемента
называется
порядок соответствующей
циклической
подгруппы Z(
g ) .
Таким
образом, если
порядок g
бесконечен,
то все степени
- различные
элементы группы
G.
Если же этот
порядок равен
n,
то элементы
различны и
исчерпывают
все элементы
из Z(
g ), а 
N
кратно n
. Из теоремы
Лагранжа вытекает,
что порядок
элемента является
делителем
порядка группы.
Отсюда следует,
что для всякого
элемента g
конечной
группы G
порядка n
имеет место
равенство 
.
Следствие.
Если
G - группа
простого порядка
p,
то 
-
циклическая
группа.
В
самом деле,
пусть
- любой элемент
отличный от
нейтрального.
Тогда его порядок
больше 1 и является
делителем p,
следовательно
он равен p.
Но в таком случае
G = Z( g )»
.
Теорема о подгруппах конечной циклической группы.
Пусть G - циклическая группа порядка n и m - некоторый делитель n. Существует и притом только одна подгруппа HМG порядка m. Эта подгруппа циклична.
Доказательство.
По
предыдущей
теореме G»Z
/ nZ. Естественный
гомоморфизм
устанавливает
взаимно однозначное
соответствие
между подгруппами
HМG
и теми подгруппами
KМZ
, которые
содержат Kerp
= nZ . Но, как отмечалось
выше, всякая
подгруппа K
группы Z
имеет вид
kZ Если
kZЙnZ
, то k
- делитель
n и
p(k)
- образующая
циклической
группы H
порядка m
= n /k. Отсюда и
следует утверждение
теоремы.
Верна и обратная теорема: если конечная группа G порядка n обладает тем свойством, что для всякого делителя m числа n существует и притом ровно одна подгруппа H порядка m, то G - циклическая группа.
Доказательство.
Будем говорить, что конечная группа G порядка N обладает свойством (Z), если для всякого делителя m числа N существует и притом только одна подгруппа HМG порядка m. Нам надо доказать, что всякая группа, обладающая свойством (Z) циклическая. Установим прежде всего некоторые свойства таких групп.
Лемма.
Если G обладает свойством (Z), то
Любая подгруппа G нормальна.
Если x и y два элемента такой группы и их порядки взаимно просты, то xy = yx.
Если H подгруппа порядка m такой группы G порядка N и числа m и N/m взаимно просты, то H обладает свойством (Z).
Доказательство леммы.
1. Пусть HМG . Для любого подгруппа 
имеет тот же порядок, что и H. По свойству (Z) 
то есть подгруппа H нормальна.
2. Пусть порядок x равен p, а порядок y равен q. По пункту 1) подгруппы Z(x) и Z(y) нормальны. Значит, Z(x)y = yZ(x) и xZ(y) = Z(y)x и потому для некоторых a и b 
. Следовательно, 
. Но, поскольку порядки подгрупп Z(x) и Z(y) взаимно просты, то 
. Следовательно, 
и потому xy = yx.
Используя свойство (Z) , выберем в G подгруппу K порядка N/m. По 1) эта подгруппа нормальна, а поскольку порядки H и K взаимно просты, эти подгруппы пересекаются лишь по нейтральному элементу. Кроме того по 2) элементы этих подгрупп перестановочны между собой. Всевозможные произведения hk =kh, где hОH, kОK попарно различны, так как 
=e поскольку это единственный общий элемент этих подгрупп. Количество таких произведений равно m N/m = 
и, следовательно, они исчерпывают все элементы G. Сюръективное отображение 
является гомоморфизмом 
с ядром K. Пусть теперь число s является делителем m. Выберем в G подгруппу S порядка s. Поскольку s и N/m взаимно просты, 
и потому 
- подгруппа порядка s. Если бы подгрупп порядка s в H было несколько, то поскольку все они были бы и подгруппами G условие (Z) для G было бы нарушено. Тем самым мы проверили выполнение условия (S) для подгруппы H.
Доказательство теоремы.
Пусть 
- разложение числа N в произведение простых чисел. Проведем индукцию по k. Пусть сначала k = 1, то есть 
. Выберем в G элемент x максимального порядка 
. Пусть y любой другой элемент этой группы. Его порядок равен 
, где u Ј s. Группы 
и 
имеют одинаковые порядки и по свойству (Z) они совпадают. Поэтому 
и мы доказали, что x - образующий элемент циклической группы G. Пусть теорема уже доказана для всех меньших значений k. Представим N в виде произведения двух взаимно простых множителей N = pq (например, 
) . Пусть H и K подгруппы G порядка p и q. Использую 3) и предположение индукции , мы можем считать, что H = Z(x), K = Z(y), причем xy = yx . Элемент xy имеет порядок pq = N и, следовательно, является образующим элементом циклической группы G.
Похожие работы
ывает канонический вид произвольных линейных преобразований, а именно: 1) нормальную форму линейного преобразования; 2) применение произвольного преобразования к нормальной форме: а) собственные и присоединенные векторы линейного преобразования; b) выделение подпространства, в котором преобразование А имеет только одно собственное значение; с) приведение к нормальной форме ...
... гомоморфизм . K= - подгруппа Z и значит K=mZ для некоторого целого m. Отсюда следует, что H= . При этом и потому n=dm где d - целое. По теореме о гомоморфизме . Из доказанных теорем следует, что всякая подгруппа циклической группы циклична. Мы видим также, что для каждого целого d, делящего порядок n конечной циклической группы имеется и притом ровно одна подгруппа порядка d, то есть для ...
... так как ему отвечает (однозначно определенная !) обратная матрица. 5. Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме производятся по обычным правилам алгебры с учетом того, что . Таким образом, (a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad - bc)i . Действия над кватернионами, записанными в виде z + wj производятся по обычным правилам алгебры ...
... лучей, исходящих из одной точки, называется многогранным выпуклым конусом с вершиной в данной точке. 1.4 Математические основы решения задачи линейного программирования графическим способом 1.4.1 Математический аппарат Для понимания всего дальнейшего полезно знать и представлять себе геометрическую интерпретацию задач линейного программирования, которую можно дать для случаев n = 2 и n = ...
0 комментариев