11. Некоторые теоремы о подгруппах конечных групп.
Теорема Коши.
Если порядок конечной группы делится на простое число p, то в ней имеется элемент порядка p.
Прежде
чем переходить
к доказательству
этой теоремы,
отметим, что
если g№e
и ,
где p
- простое
число, то порядок
g равен
p.
В самом деле,
если m
- порядок g,
то p
делится на
m,
откуда m=1
или m=p.
Первое из этих
равенств невозможно
по условиям
выбора g.
Индукция , с помощью которой проводится доказательство теоремы, основана на следующей лемме
Лемма.
Если некоторая факторгруппа G/H конечной группы G имеет элемент порядка p, то тем же свойством обладает и сама группа G.
Доказательство леммы.
Пусть
- элемент порядка
p.
Обозначим через
m порядок
элемента
.
Тогда
и значит m
делится на
p.
Но тогда
- элемент порядка
p.
Доказательство теоремы Коши.
Зафиксируем
простое число
p и
будем проводить
индукцию по
порядку n
группы G.
Если n=p,
то G»Z/pZ
и теорема
верна. Пусть
теорема уже
доказана для
всех групп
порядка меньше
n и
,
причем n
делится на
p.
Рассмотрим последовательно несколько случаев
G содержит собственную ( то есть не совпадающую со всей группой и нетривиальную) подгруппу H , порядок которой делится на p. В этом случае порядок H меньше n и по предположению индукции имеется элемент порядка p. Поскольку
в этом случае теорема доказана.
G содержит собственную нормальную подгруппу. Если ее порядок делится на p, то по 1 теорема доказана. В противном случае на p делится порядок факторгруппы G/H и теорема в этом случае следует из доказанной выше леммы.
Если G - коммутативна, то возьмем любой . Если порядок g делится на p, то теорема доказана по 1, поскольку Z(g)МG. Если это не так, то , поскольку в коммутативной группе все подгруппы нормальны, теорема доказана по 2.
Остается рассмотреть случай, когда порядки всех собственных подгрупп G не делятся на p, группа G проста ( то есть не имеет собственных нормальных подгрупп ) и не коммутативна. Покажем, что этого быть не может. Поскольку центр группы G является нормальной подгруппой и не может совпадать со всей группой, он тривиален. Поэтому G можно рассматривать как группу преобразований сопряжения на множестве G. Рассмотрим разбиение множества G на классы сопряженных элементов: . Здесь отдельно выделен класс
и классы неединичных элементов. Стабилизатор St(g) элемента g№ e представляет собой подгруппу группы G, не совпадающую со всей группой. В самом деле, если St(g) = G, то g коммутирует со всеми элементами из G и потому gОZ(g) = {e}. Значит, порядок этой подгруппы не делится на p, а потому
делится на p:
. Но тогда
- не делится на p, что не соответствует условию.
Замечание.
Если
число p
не является
простым, то
теорема неверна
даже для коммутативных
групп. Например,
группа
порядка 4 коммутативна,
но не является
циклической,
а потому не
имеет элементов
порядка 4.
Теорема о подгруппах коммутативной группы.
Для конечной коммутативной группы G справедлива теорема обратная к теореме Лагранжа : если m - делитель порядка группы, то в G имеется подгруппа порядка m.
Доказательство.
Проведем
индукцию по
порядку n
группы G.
Для n
= 2 теорема
очевидна. Пусть
для всех коммутативных
групп порядка
< n теорема
доказана. Пусть
простое p
делит m
. По теореме
Коши в G
имеется
циклическая
подгруппа S
порядка p.
Так как G
коммутативна,
S - нормальная
подгруппа. В
факторгруппе
G/S используя
предположение
индукции выберем
подгруппу K
порядка m/p
.Если
естественный
гомоморфизм,
то
- подгруппа
G порядка
m
.
Замечание.
Для некоммутативных групп данная теорема неверна. Так, например, в группе четных перестановок степени 4, которая имеет порядок 12, нет подгрупп шестого порядка.
ывает канонический вид произвольных линейных преобразований, а именно: 1) нормальную форму линейного преобразования; 2) применение произвольного преобразования к нормальной форме: а) собственные и присоединенные векторы линейного преобразования; b) выделение подпространства, в котором преобразование А имеет только одно собственное значение; с) приведение к нормальной форме ...
... гомоморфизм . K= - подгруппа Z и значит K=mZ для некоторого целого m. Отсюда следует, что H= . При этом и потому n=dm где d - целое. По теореме о гомоморфизме . Из доказанных теорем следует, что всякая подгруппа циклической группы циклична. Мы видим также, что для каждого целого d, делящего порядок n конечной циклической группы имеется и притом ровно одна подгруппа порядка d, то есть для ...
... так как ему отвечает (однозначно определенная !) обратная матрица. 5. Действия над комплексными числами, записанными в алгебраической форме производятся по обычным правилам алгебры с учетом того, что . Таким образом, (a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad - bc)i . Действия над кватернионами, записанными в виде z + wj производятся по обычным правилам алгебры ...
... лучей, исходящих из одной точки, называется многогранным выпуклым конусом с вершиной в данной точке. 1.4 Математические основы решения задачи линейного программирования графическим способом 1.4.1 Математический аппарат Для понимания всего дальнейшего полезно знать и представлять себе геометрическую интерпретацию задач линейного программирования, которую можно дать для случаев n = 2 и n = ...
0 комментариев