Система шифрования RSA

2.1. система шифрования RSA

Пусть и натуральные числа. Функция реализующая схему RSA, устроена следующим образом

. (1)

Для расшифровки сообщения достаточно решить сравнение

. (2)

При некоторых условиях на и это сравнение имеет единственное решение .

Для того, чтобы описать эти условия и объяснить, как можно найти решение, нам потребуется одна теоретико-числовая функция, так назы­ваемая функция Эйлера. Эта функция натурального аргумента обозна­чается и равняется количеству целых чисел на отрезке от 1 до , взаимно простых с . Так и для любого простого числа и натурального . Кроме того, для лю­бых натуральных взаимно простых и . Эти свойства позволяют легко вычислить значение , если известно разложение числа на простые сомножители.

Если показатель степени в сравнении (2) взаимно прост с , то сравнение (2) имеет единственное решение. Для того, чтобы найти его, определим целое число , удовлетворяющее условиям

. (3)

Такое число существует, поскольку , и притом единствен­но. Здесь и далее символом будет обозначаться наибольший общий делитель чисел и . Классическая теорема Эйлера, утверждает, что для каждого числа , взаимно простого с , выполняется сравнение и, следовательно.

. (4)

Таким образом, в предположении , единственное решение срав­нения (2) может быть найдено в виде

. (5)

Если дополнительно предположить, что число состоит из различных простых сомножителей, то сравнение (5) будет выполняться и без предпо­ложения . Действительно, обозначим и . Тогда делится на , а из (2) следует, что . Подобно (4), теперь легко находим . А кроме того, имеем . Получившиеся сравнения в силу дают нам (5).

Функция (1), принятая в системе RSA, может быть вычислена доста­точно быстро. Обратная к функция вычисляется по тем же правилам, что и , лишь с заменой показателя степени на . Таким образом, для функции (1) будут выполнены указанные выше свойства 1) и 2).

Для вычисления функции (1) достаточно знать лишь числа и . Именно они составляют открытый ключ для шифрования. А вот для вы­числения обратной функции требуется знать число . оно и является «се­кретом», о котором речь идёт в пункте в). Казалось бы. ничего не стоит. зная число . разложить его на простые сомножители, вычислить затем с помощью известных правил значение и, наконец, с помощью (3) определить нужное число . Все шаги этого вычисления могут быть реа­лизованы достаточно быстро, за исключением первого. Именно разложе­ние числа на простые множители и составляет наиболее трудоемкую часть вычислений. В теории чисел несмотря на многолетнюю её историю и на очень интенсивные поиски в течение последних 20 лет, эффективный алгоритм разложения натуральных чисел на множители так и не найден. Конечно, можно, перебирая все простые числа до , и. деля на них , найти требуемое разложение. Но, учитывая, что количество простых в этом промежутке, асимптотически равно , на­ходим, что при , записываемом 100 десятичными цифрами, найдётся не менее простых чисел, на которые придётся делить при разложе­нии его на множители. Очень грубые прикидки показывают, что компью­теру, выполняющему миллион делений в секунду, для разложения числа таким способом на простые сомножители потребуется не менее, чем лет. Известны и более эффективные способы разложения целых чисел на множители, чем простой перебор простых делителей, но и они работают очень медленно.

Авторы схемы RSA предложили выбирать число в виде произведе­ния двух простых множителей и , примерно одинаковых по величине. Так как

, (6)

то единственное условие на выбор показателя степени в отображении (1) есть

. (7)

Итак, лицо, заинтересованное в организации шифрованной переписки с помощью схемы RSA, выбирает два достаточно больших простых числа и . Перемножая их, оно находит число . Затем выбирается число , удовлетворяющее условиям (7), вычисляется с помощью (6) число и с помощью (3) - число . Числа и публикуются, число остается секретным. Теперь любой может отправлять зашифрованные с помощью (1) сообщения организатору этой системы, а организатор легко сможет расшифровывать их с помощью (5).

Для иллюстрации своего метода Ривест, Шамир и Адлеман зашифро­вали таким способом некоторую английскую фразу. Сначала она стан­дартным образом (а=01, b=02, .... z=26, пробел=00) была записана в виде целого числа , а затем зашифрована с помощью отображения (1) при

m=11438162575788886766932577997614661201021829672124236256256184293570 6935245733897830597123563958705058989075147599290026879543541

и . Эти два числа были опубликованы, причем дополнительно сообщалось, что . где и - простые числа, записываемые со­ответственно 64 и 65 десятичными знаками. Первому, кто расшифрует соответствующее сообщение

,

была обещана награда в 100$.

Эта история завершилась спустя 17 лет в 1994 г., когда D. Atkins, M. Graff, А. К. Lenstra и Р. С. Leyland сообщили о расшифровке фразы. Числа и оказались равными

,

.

Этот замечательный результат (разложение на мно­жители 129-значного десятичного числа) был достигнут благодаря ис­пользованию алгоритма разложения чисел на множители, называемого методом квадратичного решета. Выполнение вычислений потребовало колоссальных ресурсов. В работе, возглавлявшейся четырьмя авторами проекта, и продолжавшейся после предварительной теоретической под­готовки примерно 220 дней, на добровольных началах участвовало около 600 человек и примерно 1600 компьютеров, объединённых сетью Inter­net. Наконец, отметим, что премия в 100$ была передана в Free Software Foundation.

2.2.Сложность теоретико-числовых алгоритмов

Сложность алгоритмов теории чисел обычно принято измерять коли­чеством арифметических операций (сложений, вычитаний, умножений и делений с остатком), необходимых для выполнения всех действий, пред­писанных алгоритмом. Впрочем, это определение не учитывает величины чисел, участвующих в вычислениях. Ясно, что перемножить два стозначных числа значительно сложнее, чем два однозначных, хотя при этом и в том, и в другом случае выполняется лишь одна арифметическая опе­рация. Поэтому иногда учитывают ещё и величину чисел, сводя дело к так называемым битовым операциям, т. е. оценивая количество необхо­димых операций с цифрами 0 и 1, в двоичной записи чисел.

Говоря о сложности алгоритмов, мы будем иметь в ви­ду количество арифметических операций. При построении эффективных алгоритмов и обсуждении верхних оценок сложности обычно хватает ин­туитивных понятий той области математики, которой принадлежит алго­ритм. Формализация же этих понятий требуется лишь тогда, когда речь идёт об отсутствии алгоритма или доказательстве нижних опенок слож­ности.

Приведем теперь примеры достаточно быстрых алгоритмов с опен­ками их сложности. Здесь и в дальнейшем мы не будем придерживаться формального описания алгоритмов, стараясь в первую очередь объяснить смысл выполняемых действий.

Следующий алгоритм вычисляет за арифмети­ческих операций. При этом, конечно, предполагается, что натуральные числа и не превосходят по величине .

2.2.1. Алгоритм вычисления

Представим в двоичной системе счисления , где , цифры в двоичном представлении, равны 0 или 1, .

Положим и затем для вычислим

.

3) есть искомый вычет .

Справедливость этого алгоритма вытекает из сравнения

,

легко доказываемого индукцией по .

Так как каждое вычисление на шаге 2 требует не более трёх умноже­ний по модулю и этот шаг выполняется раз, то сложность алгоритма может быть оценена величиной .

Второй алгоритм - это классический алгоритм Евклида вычисления наибольшего общего делителя целых чисел. Мы предполагаем заданными два натуральных числа и и вычисляем их наибольший общий дели­тель .

Похожие работы

Шифросистемы с открытым ключом. Их возможности и применение.

Скачать

31031

1

0

... в тайне. Исходный текст шифруется открытым ключом адресата и передается ему. Зашифрованный текст в принципе не может быть расшифрован тем же открытым ключом. Дешифрование сообщение возможно только с использованием закрытого ключа, который известен только самому адресату. Криптографические системы с открытым ключом используют так называемые необратимые или ...

Защита персональных данных с помощью алгоритмов шифрования

Скачать

50231

14

1

... . Так как система с открытыми ключами позволяет распределять ключи и в симметричных системах, можно объединить в системе передачи защищенной информации асимметричный и симметричный алгоритмы шифрования. С помощью первого рассылать ключи, вторым же - собственно шифровать передаваемую информацию Обмен информацией можно осуществлять следующим образом: ·          получатель вычисляет открытый и ...

Устройство аппаратного шифрования данных с интерфейсом USB

Скачать

86939

6

20

... схема устройства для аппаратного шифрования информации, которая соответствует приведенным выше требованиям, изображена на рисунке 1.9. Рис. 1.9 – Структурная схема устройства аппаратного шифрования 2.  РАЗРАБОТКА СХЕМОТЕХНИЧЕСКОЙ РЕАЛИЗАЦИИ АППАРАТНОГО ШИФРАТОРА 2.1  Выбор элементной базы для шифратора   Согласно техническому заданию, элементная база для аппаратного шифратора должна ...

Криптографические системы защиты данных

Скачать

61238

6

2

... не к ключам!) и поэтому может зашифровывать и дешифровывать любую информацию; 2.7 Выводы по разделу 2. Подводя итоги вышесказанного, можно уверенно заявить, что криптографическими системами защиты называються совокупность различных методов и средств, благодаря которым исходная информация кодируеться, передаеться и расшифровываеться. Существуют различные криптографические системы защиты, ...