Конечное расширение поля

2.1. Конечное расширение поля.

Пусть P — подполе поля F. Тогда мы можем рассматривать F как векторное пространство над P, т. е. рассматривать векторное пространство +F, +, {w_l½l P},,

где w_l- операция умножения элементов из F на скаляр lP.

Определение. Расширение F поля P называется конечным, если F, как векторное пространство над P, имеет конечную размерность. Эта размерность обозначается через [F : P].

Предложение 2.1. Если a — алгебраический элемент степени n над P, то [P (a):P]=n.

Это предложение непосредственно следует из теоремы 1.5.

Определение. Расширение F поля P называется алгебраическим, если каждый элемент из F является алгебра­ическим над P.

Теорема 2.2. Любое конечное расширение F поля P является алгебраическим над P.

Доказательство. Пусть n-размерность F над P. Теорема, очевидно, верна, если n = 0. Предположим, что n>0. Любые n+1 элементов из F линейно зависимы над P. В частности, линейно зависима система элементов 1, a, ..., aⁿ, т. е. существуют в P такие элементы с₀, с_1,…,c_n не все равные нулю, что с₀×1+ с_1a+…+c_n aⁿ= 0.

Следовательно, элемент a является алгебраическим над P.

Отметим, что существуют алгебраические расширения поля, не являющиеся конечными расширениями.

2.2. Составное алгебраическое расширение поля.

Расширение F поля P называется составным, если существует

возрастающая цепочка подполей L i поля F такая, что

P = L₀ L₁ … L_k= F и k>1.

Теорема 2.3. Пусть F — конечное расширение поля L и L — конечное расширение поля P. Тогда F является конечным расширением поля P и

(I)        [F : P] = [F : L]@[ L : P].

Доказательство. Пусть

(1) a₁,…,a_m — базис поля L над P (как векторного пространства) и

(2) b₁,…,b_n— базис поля F над L . Любой элемент d из F можно линейно выразить через базис:

(3) d = l₁b₁+...+l_nb_n (l_k L).

Коэффициенты 1_k можно линейно выразить через базис (1):

(4) l_k = p_1k a +…+ p_mk a_m (p_ikP).

Подставляя выражения для коэффициентов l_k в (3), получаем

d = å p_ik a_ib_k.

^i{1,…,m}

^k{1,…,n}

Таким образом, каждый элемент поля F представим в виде линейной комбинации элементов множества B, где

B = { a _ib_k½{1,..., m}, k {l,..., n}}.

Отметим, что множество B состоит из nm элементов.

Покажем, что B есть базис F над полем P. Нам надо показать, что система элементов множества B линейно независима. Пусть

(5) åc_ika_ib_k = 0,

^I,k

где c_ik P. Так как система (2) линейно независима над L , то из (5) следуют равенства

(6) с_1ka ₁+...+с_mka_m = 0 (k = 1,..., n).

Поскольку элементы a ₁, ..., a_m линейно независимы над P, то из (6) следуют равенства

c_1k = 0,…,c_mk = 0 (k = 1, ..., n),

показывающие, что все коэффициенты в (5) равны нулю. Таким образом, система элементов B линейно независима и является базисом F над P.

Итак установлено, что [F , P] = nm = [F: L]×[L: P]. Следовательно, F является конечным расширением поля P и имеет место формула (I).

Определение. Расширение F поля P называется составным алгебраическим, если существует возрастающая цепочка подполей поля P

P = L₀ L₁ … L_k= F и k>1 (1)

такая, что при i = 1,..., k поле L _i является простым алгебраическим расширением поля L _i-1.Число k назы­вается длиной цепочки (1).

Следствие 2.4. Составное алгебраическое расшире­ние F поля P является конечным расширением поля P.

Доказательство легко проводится индукцией по длине цепочки (1) на основании теоремы 2.3.

Теорема 2.5. Пусть a₁,..., a_k — алгебраические над полем P элементы поля F . Тогда поле P(a₁,..., a_k) является конечным расширением поля P.

Доказательство. Пусть

L₀ = P, L₁ = P [a₁], L ₂= P [a₁, a₂,],..., L _k = P [a₁ ,..., a_k].

Тогда L₁ = P [a₁] есть простое алгебраическое расшире­ние поля L₀; L₂ есть простое алгебраическое расширение поля L₁ , так как

L₂ = P [a₁,a₂] = (P [a₁])[a₂] = L₁[a₂] = L₁(a₂) и т. д.

Таким образом,

P = L₀ L₁ … L_k= F

где L_i = L_i-1(a_i) при i = 1, ..., k, т. е. каждый член цепочки (2) является простым алгебраическим расширением предшествующего члена цепочки. Итак, поле F является составным алгебраическим расширением поля P. Следовательно, в силу следствия 2.4 поле F является конеч­ным расширением поля P .

Следствие 2.6. Составное алгебраическое расшире­ние поля является алгебраическим расширением этого поля.

Похожие работы

Алгебраические расширения полей

Скачать

47548

0

0

... множители. Это условие является и достаточным. Действительно, если каждый многочлен в W[x] разлагается на линейные множители, то все простые многочлены в W[x] линейны и каждый элемент любого алгебраического расширения W' поля W оказывается корнем некоторого линейного многочлена x — a в W[x], т. е. совпадает с некоторым элементом a поля W. Поэтому дадим следующее определение: Поле W называется ...

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

Скачать

16021

0

3

... Р – подполуполе полуполя F, , тогда простым расширением полуполя P с помощью элемента a называется наименьшее подполуполе полуполя F, содержащее множество P и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается P(a). 1.2. Простое расширение Q+(a) Теорема 1.2.1. Произвольное полутело либо аддитивно идемпотентно, либо содержит копию Q+ в качестве полутела. Доказательство. Предположим, что S ...

Расширение позиции восприятия

Скачать

23315

0

0

... -- отмечая, как каждая из них организует наше внимание. Первые три хорошо известны людям, изучающим сознание. И их можно просто называть первой, второй и третьей позициями. Начнем исследовать расширение позиций восприятия с принятия первой позиции, ощущения вашего текущего взгляда на мир "изнутри". Это -- знакомая территория. В любой момент я могу посмотреть изнутри на другого, сидящего напротив ...

Фундаментальная группа. Конечные поля

Скачать

7823

0

3

... IrrPoly->print(); // Вывожу  Memo1->Lines->Add("");  Polynom *prim = FindPrimitiveElement(IrrPoly); // Находим примитивный элемент поля  LabeledEdit2->Text = prim->print(); Результаты выполнения программы: Фундаментальная группа Цель работы: изучить определение и свойства фундаментальной группы топологического пространства. Познакомиться с понятием клеточного комплекса ...