Простота составного алгебраического расширения поля

2.3. Простота составного алгебраического расширения поля.

Теорема 2.7. Пусть числовое поле F есть составное алгебраическое расширение поля P . Тогда F является простым алгебраическим расширением поля P.

Доказательство. Пусть P L F , причем L = P(a), F = L(b) и, следовательно, F = P(a, b).

Пусть f и g — минимальные полиномы над P соответственно для чисел a и b и deg f = m, deg g = n. Полиномы f и g неприводимы над P и, следовательно, не имеют в поле E комплексных чисел кратных корней. Пусть

a = a₁ ,..., a_m — корни полинома f в C и

b = b₁ ,..., b_n— корни полинома g в C.

Рассмотрим конечное множество М:

M = {(a_i-a)/(b-b_k)½i0{1,…,m}, k0{2,…,n}}.

Поскольку P — числовое множество (и, значит, бесконеч­ное), то в P существует число c, отличное от элементов множества М, c0P(М, cóМ. Пусть

(1) g = a + cb.

Тогда выполняются соотношения

(2) g ¹ a_i +cb_k = (i0{1,..., m}, k0{2, ..., n}).

В самом деле, в случае равенства a +сb = a_i+сb_k было бы

с = (a_i-a)/(b-b_k) 0 M

что противоречило бы выбору числа c.

Пусть F₁ = P (g) и F₁ — кольцо полиномов от x. Пусть h = f(g - cx) — полином из F₁[x] (g, c0P(g) = F₁). Покажем, что x-b есть наибольший общий делитель полиномов h и g в кольце F₁[x]. Так как g(b) = 0, то x-b делит g в E[x]. Далее, в силу (1)

h(b) = f(g-cb) = f(a) = 0.

Поэтому x-b делит полином h в E[x]. Таким образом, x-b есть общий делитель h и g в кольце E[x].

Докажем, что g и h в С не имеет корней, отличных от b. В самом деле, допустим, что b_k, k0{2 ,..., n}, есть их общий корень. Тогда h(b_k) = f(g - сb_k) = 0. Сле­довательно, найдется такой индекс i0{1 ,..., m}, что g = a_i+cb_k(k>1), а это противоречит (2). На основании этого заключаем, что x-b есть наибольший общий дели­тель g и h в E[x]. Поскольку x - b — нормированный полином, то отсюда следует, что x - b является наиболь­шим общим делителем g и h в кольце F₁[x]. Поэтому

(x-b) 0 F₁[x] и b 0 F₁ = P(g).

Кроме того, a = g - cb 0 F₁. Таким образом,

F = P(a, b)Ì F₁, F₁ÌF.

Следовательно, F = P(g). Далее, так как g (как и всякий элемент из F) есть алгебраический элемент над P и F = P (g), то поле F = P (g) является искомым простым алгебраическим расширением поля P.

2.4. Поле алгебраических чисел.

 

 В классе подполей поля комплексных чисел одним из наиболее важных является поле алгебраических чисел.

Определение. Алгебраическим числом называется комплексное число, являющееся корнем полинома поло­жительной степени с рациональными коэффициентами.

Отметим, что алгебраическое число есть любое комплексное число, алгебраическое над полем Q. В частности, любое рациональное число является алгебраическим.

Теорема 2.8. Множество A всех алгебраических чисел замкнуто в кольце E = +С, +, —, •, 1, комплексных чисел. Алгебра A = +А, +, —, •, 1, является полем, подполем поля E.

Доказательство. Пусть a и b — любые элементы из А. По следствию 2.6, поле Q(a, b) является алгебраическим над Q. Поэтому числа a+b, -а, ab, 1 являются алгебраическими, т. е. принадлежат множеству A. Таким образом, множество А замкнуто относительно главных операций кольца E. Поэтому алгебра A — подкольцо кольца E — является кольцом.

Кроме того, если a —ненулевой элемент из А, то a^-1 0 Q (a, b) и поэтому а^-1 принадлежит А. Следовательно, алгебра A есть поле, подполе поля E.

Определение. Поле A = +А, +, —, •, 1, назы­вается полем алгебраических чисел.

 

Пример.

Показать, что число a= является алгебраическим. Решение. Из a= следует a-. Возведем обе части последнего равенства в третью степень: a³-3a²9a-3=2

или

a³ +9a-2=3(a²+1).

Теперь обе части равенства возводим во вторую степень:

a⁶+18a⁴+81a²-4a³-36a+4=27a⁴+54a²+27

или

a⁶-9a⁴-4a³+27a²-36a-23=0.

Таким образом a является корнем многочлена

f(x)= a⁶-9a⁴-4a³+27a²-36a-23=0

с рациональными коэффициентами. Это значит что a — алгебраическое число.