Конечное расширение поля
Простота составного алгебраического расширения поля
Алгебраическая замкнутость поля алгебраических чисел
Алгебраически замкнутые поля
Изоморфизм P(Â) @ Р(¢) должен оставлять каждый элемент поля Р на месте
Степень функции h — f(х)/g(х) зависит лишь от полей D(h) и D(x), а не от того или иного выбора порождающего элемента х
Навигация
Изоморфизм P(Â) @ Р(¢) должен оставлять каждый элемент поля Р на месте
Расширения полей
48484
знака
1
таблица
0
изображений
1. Изоморфизм P(Â) @ Р(¢) должен оставлять каждый элемент поля Р на месте.
2. Изоморфизм P(Â) @ Р(¢) при ÁÌ Â должен быть продолжением изоморфизма Р(Á) @Р(Á').
3. Если Â обладает последним элементом a, так что Â = ÁÈ{a}, и если а — корень неразложимого в Р (Á) многочлена f(x), то элемент а' должен быть первым корнем соответствующего в силу Р(Á) @Р(Á'), многочлена f¢(x) во вполне упорядоченном поле W'.
Нужно показать, что этими тремя требованиями действительно определяется изоморфизм P(Â) @ Р(¢), если только он уже определен для всех предыдущих отрезков ÁÌ Â. Здесь необходимо различать два случая.
Первый случай. Множество  не имеет последнего элемента. Тогда каждый элемент а принадлежит некоторому предыдущему отрезку Á; поэтому  является объединением отрезков Á, а потому Р(Â) — объединением полей Р(Á) для ÁÌ Â. Так как каждый из изоморфизмов Р(Á) @Р(Á') является продолжением всех предыдущих, то каждому элементу a при всех этих изоморфизмах сопоставляется лишь один элемент a'. Поэтому существует одно и только одно отображение P(Â) → Р(¢), продолжающее все предыдущие изоморфизмы Р(Á)→ Р(Á'), а именно —отображение a®a'. Очевидно, оно является изоморфизмом и удовлетворяет требованиям 1 и 2.
Второй случай. Множество  имеет последний элемент а; следовательно,  =ÁÈ{а}. Вследствие требования 3 элемент а', сопоставляемый элементу а, однозначно определен. Так как а' над полем Р(Á') (в смысле рассматриваемого изоморфизма) удовлетворяет «тому же» неразложимому уравнению, что и а над Р(Á), то изоморфизм Р(Á)→Р(Á') (и в том случае, когда Á пусто, т. е. тождественный изоморфизм Р®Р) продолжается до изоморфизма Р(Á, a) ®Р(Á', a¢), при котором а переходит в а'. Каждым из приведенных выше требований этот изоморфизм определен однозначно, потому что каждая рациональная функция j(а) с коэффициентами из  обязательно переходит в функцию j'(а') с соответствующими коэффициентами из Á'. То, что так определенный изоморфизм P(Â) ® Р(¢) удовлетворяет требованиям 1 и 2, очевидно.
Тем самым построение изоморфизма P(Â)→Р(¢) завершено. Обозначим через W" объединение всех полей Р(¢); тогда существует изоморфизм Р(W)®W" или W®W", оставляющий на месте каждый элемент поля Р. Так как поле W алгебраически замкнуто, таким же должно быть и W", а потому W" совпадает со всем полем W¢. Отсюда следует эквивалентность полей W и W¢.
Значение алгебраически замкнутого расширения данного поля состоит в том, что с точностью до эквивалентности оно содержит все возможные алгебраические расширения этого поля. Точнее:
Если W — алгебраически замкнутое алгебраическое расширение поля Р и S — произвольное алгебраическое расширение поля Р, то внутри W существует расширение S0, эквивалентное расширению S.
Доказательство. Продолжим S до некоторого алгебраически замкнутого алгебраического расширения W'. Оно будет алгебраическим и над Р, а потому эквивалентным расширению W. При каком-то изоморфизме, переводящем W' в W и сохраняющем неподвижным каждый элемент из Р, поле S переходит в некоторое эквивалентное ему подполе S0 в W.
4.2. Простые трансцендентные расширения.
Каждое простое трансцендентное расширение поля D, как мы знаем, эквивалентно полю частных D(x) кольца многочленов D[x]. Поэтому мы изучим это поле частных
W = D(x).
Элементами поля W служат рациональные функции
h = f(x)/g(x).
Это представление можно считать несократимым (f и g взаимно просты). Наибольшая из степеней многочленов f(x) и g(х) называется степенью функции h.
Теорема. Каждый отличный от константы элемент h степени п трансцендентен над D и поле D(x) — алгебраическое расширение поля D(h) степени п.
Доказательство. Представление h = f(х)/g(х) будем считать несократимым. Тогда элемент х удовлетворяет уравнению
g(x)×h - f(x)=0
с коэффициентами из D(h). Эти коэффициенты не могут быть все равны нулю. Действительно, если бы все они равнялись нулю и ak был бы при той же степени х любым ненулевым коэффициентом многочлена g(x), а bk — ненулевым коэффициентом многочлена f(x), то должно было бы иметь место равенство
akh - bk = 0
откуда h = bk/ak = const, что противоречит предположению. Следовательно, элемент х алгебраичен над D(h).
Если бы элемент h был алгебраическим над D, то и х был бы алгебраическим над D, что, однако, не так. Следовательно, элемент h трансцендентен над D.
Элемент х является корнем многочлена степени n
g(z)h - f(z)
в кольце D(h)(z). Этот многочлен неразложим в D(h)[z], потому что иначе он был бы разложим п в кольце D[h, z], и, так как он линеен по h, один из множителей должен был бы зависеть не от h, а лишь от z. Но такого множителя не может быть, потому что g(z) и f(z) взаимно просты.
Следовательно, элемент х является алгебраическим степени п над полем D(h). Отсюда следует утверждение о том, что (D(x) : D(h)) = n
Для дальнейшего отметим, что многочлен
g(z)h - f(z)
не имеет множителей, зависящих только от z (т. е. лежащих в D[z]). Это утверждение остается верным, когда h заменяется своим значением f(х)/g(х) и умножается на знаменатель g(х) тем самым многочлен
g(z)f(x) - f(z)g(x)
кольца D[x, z] не имеет множителей, зависящих только от z.
Из доказанной теоремы вытекают три следствия.
Похожие работы
... множители. Это условие является и достаточным. Действительно, если каждый многочлен в W[x] разлагается на линейные множители, то все простые многочлены в W[x] линейны и каждый элемент любого алгебраического расширения W' поля W оказывается корнем некоторого линейного многочлена x — a в W[x], т. е. совпадает с некоторым элементом a поля W. Поэтому дадим следующее определение: Поле W называется ...
... Р – подполуполе полуполя F, , тогда простым расширением полуполя P с помощью элемента a называется наименьшее подполуполе полуполя F, содержащее множество P и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается P(a). 1.2. Простое расширение Q+(a) Теорема 1.2.1. Произвольное полутело либо аддитивно идемпотентно, либо содержит копию Q+ в качестве полутела. Доказательство. Предположим, что S ...
... -- отмечая, как каждая из них организует наше внимание. Первые три хорошо известны людям, изучающим сознание. И их можно просто называть первой, второй и третьей позициями. Начнем исследовать расширение позиций восприятия с принятия первой позиции, ощущения вашего текущего взгляда на мир "изнутри". Это -- знакомая территория. В любой момент я могу посмотреть изнутри на другого, сидящего напротив ...
... IrrPoly->print(); // Вывожу Memo1->Lines->Add(""); Polynom *prim = FindPrimitiveElement(IrrPoly); // Находим примитивный элемент поля LabeledEdit2->Text = prim->print(); Результаты выполнения программы: Фундаментальная группа Цель работы: изучить определение и свойства фундаментальной группы топологического пространства. Познакомиться с понятием клеточного комплекса ...
0 комментариев