ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ
ОСНОВНАЯ ИДЕЯ СИМПЛЕКС-МЕТОДА
ПОСТРОЕНИЕ ИСКУССТВЕННОГО БАЗИСА
Реализуем
первый этап двухэтапного метода: с помощью процедур симплекс-
ВТОРОЙ ЭТАП ДВУХЭТАПНОГО СИМЛЕКС-МЕТОДА
АНАЛИЗ МОДЕЛИ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ
АНАЛИЗ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ К ИЗМЕНЕНИЯМ КОЭФФИЦИЕНТОВ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ
Навигация
ОСНОВНАЯ ИДЕЯ СИМПЛЕКС-МЕТОДА
Решение оптимизационной задачи линейного программирования
59893
знака
13
таблиц
0
изображений
3.2. ОСНОВНАЯ ИДЕЯ СИМПЛЕКС-МЕТОДА
Экстремум целевой функции всегда достигается в угловых точках области допустимых решений. Симплекс-метод, называемый также методом последовательного улучшения плана, реализует перебор угловых точек области допустимых решений в направлении улучшения значения целевой функции. Основная идея этого метода следующая. Прежде всего, находится какое-либо допустимое начальное (опорное) решение, т.е. какая-либо угловая точка области допустимых решений. Процедура метода позволяет ответить на вопрос, является ли это решение оптимальным. Если "да", то задача решена. Если "нет", то выполняется переход к смежной угловой точке области допустимых решений, где значение целевой функции улучшается, т.е. к нехудшему допустимому решению. Если некоторая угловая точка имеет несколько смежных, то вычислительная процедура метода обеспечивает переход к той из них, для которой улучшение целевой функции будет наибольшим. Процесс перебора угловых точек области допустимых решений повторяется, пока не будет найдена точка, которой соответствует экстремум целевой функции Е.
При построении начального базиса в заданной задаче использовался метод искусственного базиса, поэтому найденное решение не является допустимым. В этом случае для решения задачи необходимо использовать двухэтапный симплекс-метод.
3.3. ДВУХЭТАПНЫЙ СИМПЛЕКС-МЕТОД
Задача с помощью этого метода решается в два этапа: сначала отыскивается начальное допустимое решение, не содержащее искусственных переменных, а затем на основе найденного решения ищется оптимальное решение исходной задачи. Основные шаги, реализации метода следующие.
1. Задача линейного программирования сводится к стандартной форме.
2. Строится искусственный базис.
3. Составляется искусственная целевая функция: сумма всех искусственных переменных.
4. Реализуется первый этап двухэтапного метода: с помощью обычных процедур симплекс-метода выполняется минимизация искусственной целевой функции. Если ее минимальное значение равно 0, то соответствующее решение является допустимым решением исходной задачи. Очевидно, что при нулевом значении искусственной целевой функции все искусственные переменные также нулевые (так как искусственная целевая функция - их сумма, и все они неотрицательны). Если минимальное значение искусственной целевой функции оказывается отличным от нуля, это означает, что задача не имеет допустимых решений.
5. Реализуется второй этап двухэтапного метода: найденное на шаге 4 допустимое решение используется в качестве начального решения исходной задачи для поиска ее оптимального решения.
4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ НА ОСНОВЕ СИМПЛЕКС-ТАБЛИЦ
4.1. ПРИВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ К СТАНДАРТНОЙ ФОРМЕ
Для приведения данной задачи к стандартной форме необходимо лишь перейти от ограничений – неравенств к равенствам. Для этого введем дополнительные балансовые неотрицательные переменные. Также для упрощения дальнейших вычислений разделим обе части ограничений на комплектацию деталей на 5:
X1 + X2 + X3 + X7 = 8;
X4 + X5 + X6 + X8 = 8;
2X1 – X2 + 6X4 – 3X5 = 0;
2X1 – 2X3 + 6X4 – 2X6 =0;
X1 , X2 , X3 , X4 , X5 , X6 , X7 , X8 ≥ 0.
E= X1 + X2 + 2X3 + 3X4 + 3X5 + 2X6 Þ max
где Х7 , Х8 – остаточные переменные.
Итак, нашу исходную задачу мы привели к стандартной форме основной задачи линейного программирования.
4.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОГО ДОПУСТИМОГО РЕШЕНИЯ
Для задачи, представленной в стандартной форме, количество переменных обычно больше, чем количество ограничений. Поэтому для нахождения начального решения задачи требуется выразить m переменных (т.е. количество переменных, равное количеству уравнений) через остальные n-m переменных, принять эти n-m переменных равными нулю и, таким образом, найти значения m переменных (в заданной задаче m=4 и n=8). Переменные, значения которых принимаются равными нулю, называются небазисными, а остальные m переменных - базисными. Значения базисных переменных неотрицательны (некоторые из них могут оказаться равными нулю). Количество базисных переменных всегда равно количеству ограничений. Найденное таким образом решение называется начальным допустимым базисным решением. Оно соответствует всем ограничениям.
Начальное решение проще всего найти в случае, когда в каждом ограничении есть переменная, которая входит в него с коэффициентом 1 и при этом отсутствует в других ограничениях. Такие переменные принимаются в качестве базисных (они образуют начальный базис задачи). Остальные (небазисные) переменные принимаются равными нулю. Таким образом, базисные переменные принимают значения, равные правым частям ограничений.
Итак, для нахождения начального допустимого решения необходимо, чтобы в каждое из уравнений входила переменная с коэффициентом 1 и не входила в другие уравнения (базисная переменная). В нашем случае мы имеем только 2 базисные переменные (X7 и X8) , не хватает еще двух базисных переменных. Их можно создать с помощью специального способа, который называется построением искусственного базиса.
Похожие работы
... . При этом значения cij соответствуют коэффициентам целевой функции исходной замкнутой транспортной задачи (1) и в последующем не изменяются. Элементы xij соответствуют значениям переменных промежуточных решений транспортной задачи линейного программирования и изменяются на каждой итерации алгоритма. Если в некоторой ячейке xij=0, то такая ячейка называется свободной, если же xij>0, то такая ...
... задачи линейного программирования, они очень сложны и решаются специальными, обычно многостадийными приемами с использованием эвристических элементов. 3. Решение задач 3.1. Решение задачи линейного программирования 3.1.1.Постановка задачи Сформулируем задачу: Определить значения переменных, обеспечивающие минимизацию целевой функции. Составим целевую функцию и зададим ограничения. ...
... имеет вид найти переменные задачи удовлетворяющие системе ограничений: и условию неотрицательности 0 (j = ), которая обеспечивает экстремум целевой функции Z(Y) = Допустимым решением задачи линейного программирования называется любой набор значений переменных удовлетворяющий системе ограничений и условной неотрицательности. Множество допустимых решений образует область допустимых ...
... 0 505/103 0 792/103 669/103 500/103 Анализ Таблицы 6 позволяет сделать вывод о допустимости и оптимальности базиса XБ4=(x5, x7, x1, x2, x4)T. 3.4 Результат решения задачи планирования производства В результате решения поставленной задачи симплекс-методом получили набор производимой продукции x=(x1, x2, x3, x4, x5)=( 15145/103, 8910/103, 0, 1250/103, 3255/103), который удовлетворяет всем ...
0 комментариев