<------------------ С

2 <------------------ С

о

<------------------ л

3 1 н

<------------------ ц

Земля е

<------------------

4

Рис.1. Фазы Луны: 1-новолуние; 2-первая четверть; 3-полнолуние; 4-третья четверть

Минимальный промежуток времени между двумя одинаковыми фазами называется синоди-

ческим месяцем. Он равен 29.5305 суток, а двенадцать месяцев составляют 354.3670

суток. Величина же тропического года (промежуток времени между двумя последователь-

ными прохождениями диска Солнца через точку весеннего равноденствия) равна 365.24421

суток. Как видно, синодический месяц несоизмерим ни с сутками, ни с тропическим го-

дом: он не состоит из целого числа суток и не укладывается без остатка в тропическом

году. В этом и заключается основная проблема, возникающая при создании календаря.

Обратимся к основным методам ее разрешения.

Существует три типа календарей: лунный календарь, лунно-солнечный календарь и

солнечный календарь. Лунный календарь опирается только на синодический месяц и не

связан с тропическим годом. Календарный год состоит в этом случае из двенадцати меся-

цев и продолжительность его равна, как мы уже отмечали 354.3670 суток. Календарный

месяц, очевидно, может состоять из 29 или 30 суток. Необходимо придумать такую схему

чередования месяцев, чтобы она давала за год число дней, максимально приближенное к

календарному году. Можно, например, принять, что календарный год состоит из 354 су-

ток: из шести "полных" месяцев по 30 суток и шести "пустых" по 29 суток (6*30+6*29 =

354). А чтобы начало календарного месяца как можно точнее совпадало с новолунием,

эти месяцы должны чередоваться; например, все нечетные месяцы могут содержать по 30

дней, а четные - по 29 дней. Однако промежуток времени в 12 синодических месяцев на

0.3670 суток больше календарного лунного года в 354 суток. За три года ошибка соста-

вит уже 1.1001 суток. Следовательно, в четвертом от начала счета году новолуния бу-

дут уже приходится не на первые, а на вторые числа месяцев. А это значит, что кален-

дарь время от времени следует исправлять: приблизительно через три года делать

вставку в один день, т.е. вместо 354 дней считать в году 355 дней. Год в 354 дня

принято называть простым, год в 355 дней - високосным.

В более общем виде проблема построения лунного календаря сводитя к следующему:

необходимо найти такой порядок следования простых и високосных годов лунных циклов,

при котором начала календарных месяцев не отодвигались бы от новолуния. Для ее реше-

ния необходимо подобрать целое число лунных лет, за которое набегает какое-то целое

или почти целое число вставных дней. Это найденое число вставных дней и распределя-

ется между отдельными годами внутри цикла. Конечно, т.к. величина лунного года равна

354.3670, можно было бы вставлять 367 дней на протяжении 1000 лунных лет. Однако это

слишком большой промежуток времени, с которым трудно работать. Хотелось бы заменить

эту дробь дробью, близкой по значению, но с меньшим числителем и знаменателем. Для

решения задачи используется метод разложения рационального числа в цепную дробь.

Можно доказать, что произвольное число можно представить в виде:

m 1

--- = a0 + ----------------------------------

n 1

a1 + ---------------------------

1

a2 + ------------------

a3 + ...

причем цепочка имеет конечное количество элементов. Тогда последовательные приближе-

ния данного числа и будут теми дробями, которые мы ищем. В рассматриваемом случае

цепная дробь имеет вид

367 1

K = ------ = ---------------------------------

1000 1

2 + ----------------------------

1

1 + ----------------------

1

2 + ----------

1 + ...

а последовательные приближения равны: К(i) = 1/2; 1/3; 3/8; 4/11; 7/19; 11/30...

Как мы увидим далее, при построении лунных календарей были использованы два после-

довательных приближения: К=3/8 и К=11/30. В первом случае ("турецкий цикл") на про-

тяжении восьми лет делается вставка из трех дней. Во втором ("арабский цикл") на про-

межутке в 30 лет 11 лет делаются високосными. Второй цикл дает ошибку в один день за