Навигация
4. Обратный оператор
Пусть А – линейный оператор, действующий из Е в Е1 , и DA область определения, а RA – область значений этого оператора.
Определение 6. Оператор А называется обратимым, если для любого у
RA уравнение Ах=у имеет единственное решение.
Если А обратим, то любому элементу уRA можно поставить в соответствие единственный элемент хDA , являющийся решением уравнения Ах=у. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным к А и обозначается А-1.
Теорема 3 [1]. Оператор А-1, обратный линейному оператору А, также линеен.
Доказательство.
Достаточно проверить выполнение равенства
.
Положим Ах1=у1 и Ах2=у2, в силу линейности А имеем
(*)
По определению обратного оператора А-1у1=х1 и А-1у2=х2, умножим оба равенства соответственно на 
и 
:
.
С другой стороны из равенства (*) следует 
, следовательно, 
.
Теорема доказана.
Теорема 4 [3]. (Теорема Банаха об обратном операторе)
Пусть А – линейный ограниченный оператор, взаимно однозначно отображающий банахово пространство Е на банахово пространство Е1. Тогда обратный оператор А-1 ограничен.
Теорема 5 [3]. Пусть Е – банахово пространство, I – тождественный оператор в Е, а А – такой ограниченный линейный оператор, отображающий Е в себя, что 
. Тогда оператор (I-A)-1 существует, ограничен и представляется в виде 
.
Доказательство.
Так как 
, то ряд 
сходится. А так как 
для всех 
, то ряд 
также сходится. Пространство Е полно, значит, из сходимости ряда вытекает, что сумма ряда 
представляет собой ограниченный линейный оператор. Для любого n имеем: 
, переходя к пределу и учитывая, что 
, получаем 
, следовательно 
.
Теорема доказана.
5. Спектр оператора. Резольвента.
Всюду, где речь идет о спектре оператора, считаем, что оператор действует в комплексном пространстве.
В теории операторов и ее применениях первостепенную роль играет понятие спектра оператора. Рассмотрим это понятие сначала применительно к операторам в конечномерном пространстве.
Пусть А – линейный оператор в n-мерном пространстве Еn . Число 
называется собственным значением оператора А , если уравнение
имеет ненулевые решения. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора А, а все остальные значения – регулярными.
Иначе говоря, есть регулярная точка, если оператор 
обратим. При этом оператор -1 , как и любой оператор в конечномерном пространстве, ограничен, поэтому в конечномерном пространстве существует две возможности:
уравнение имеет ненулевое решение, т. е. есть собственное значение для А , оператор -1 при этом не существует;
существует ограниченный оператор -1, т.е. есть регулярная точка.
В бесконечномерном пространстве существует третья возможность:
оператор -1 существует, т.е. уравнение имеет лишь нулевое решение, но этот оператор не ограничен.
Введем следующую терминологию. Число мы назовем регулярным для оператора А, действующего в (комплексном) линейном нормированном пространстве Е, если оператор -1 , называемый резольвентой оператора А , определен на всем Е и непрерывен. Совокупность всех остальных значений называется спектром оператора А . Спектру принадлежат все собственные значения оператора А, так как если х=0 при некотором 
, то -1 не существует. Их совокупность называется точечным спектром. Остальная часть спектра, т.е. совокупность тех , для которых -1 существует, но не непрерывен, называется непрерывным спектром. Итак, любое значение является для оператора А или регулярным, или собственным значением, или точкой непрерывного спектра. Возможность наличия у оператора непрерывного спектра – существенное отличие теории операторов в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.
Теорема 6 [3]. Если А –ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве и 
, то – регулярная точка.
Доказательство.
Так как, очевидно 
, то 
. При 
этот ряд сходится (теорема 4), т.е. оператор 
имеет ограниченный обратный. Иначе говоря, спектр оператора А содержится в круге радиуса 
с центром в нуле.
Теорема доказана.
Пример. В пространстве 
функций, непрерывных на отрезке 
, рассмотрим оператор А, определяемый формулой Аx(t)=M(t)x(t) , где M(t)– фиксированная непрерывная функция. Возьмем произвольное число 
, тогда 
, а 
.
Спектр рассматриваемого оператора состоит из всех , для которых Если функция M(t)- обращается в нуль при некотором t, заключенном между 0 и 1, то оператор не определен на всем пространстве , так как функция 
уже не обязана быть непрерывной. Если же функция M(t)- не обращается в нуль на отрезке , то функция 
непрерывна на этом отрезке, а, следовательно, ограничена: для некоторого 
при всех 
. Следовательно, оператор 
ограничен, а число – регулярное для оператора А. Таким образом, спектр оператора А есть совокупность всех значений функции M(t) на отрезке [0;1], причем собственные значения отсутствуют, т.е. оператор умножения на t представляет собой пример оператора с чисто непрерывным спектром.
Замечания
Любой ограниченный линейный оператор, определенный в комплексном банаховом пространстве, имеющем хоты бы один отличный от нуля элемент, имеет непустой спектр. Существуют операторы, у которых спектр состоит из единственной точки (оператор умножения на число).
Теорема 5 может быть уточнена следующим образом. Пусть 
(можно доказать, что этот предел существует для любого ограниченного оператора А), тогда спектр оператора А целиком лежит внутри круга радиуса r с центром в нуле. Величина r называется спектральным радиусом оператора А.
Резольвентные операторы 
и 
, отвечающие точкам 
и , перестановочны между собой и удовлетворяют соотношению 
, которое легко проверить, умножив обе части этого равенства на 
. Отсюда вытекает, что если 
– регулярная точка для А, то производная от по при =, т.е. 
, существует (в смысле сходимости по операторной норме) и равна 
.
§2. Унитарные операторы. Оператор сдвига
В этом разделе будем рассматривать пространство Н со скалярным произведением, которое является частным случаем нормированного пространства.
Похожие работы
... непрерывных и ограниченных функций – C[], заданный следующим образом: Af(x) = f(x+a). Функции f(x), f(x+a) C[], a R, f(x+a) – непрерывная и ограниченная функция. Покажем линейность оператора А, по определению 1 должны выполняться следующие аксиомы : 1) Аксиома аддитивности: А(f+g) = А(f) + А(g). А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g). По определению суммы функции, аксиома ...
... В этих формулах привлекательно то, что результат произведения двух операторов сдвигов выражается через операторы с действительными собственными значениями, как это следует из сопоставления правых частей уравнений (4.92) – (4.94), с одной стороны, и уравнений (4.90) и (4.91) – с другой. 4.3.5.13. Все коммутационные соотношения операторов момента импульса и его проекций, найденные в этом разделе,
... проектора Q пространства L на H, что tQ = Qt для любого вещественного s. (4). Найдем вид проектора. Положим e(x)=e . Тогда te=ee, а так как оператор Q линеен, то Qte = eQe. (5). Из (4) и (5) следует, что (Qe)(x-s) = e (Qe)(x). (6). Пусть С = (Qe)(0). При Q = 0 соотношение (6) имеет вид Qe = Ce. ...
... частотного диапазона и внешний вид фильтра. То же самое мы видим и для других Частотных диапазонов на плакатах 2 и 3 . Доклад окончен Тема: Модель тракта прослушивания гидроакустических сигналов ОглавлениеВведение Место тракта прослушивания в структуре режима ШП типовой ГАС Формирование канала наблюдения в частотной области 3 Факторы, влияющие на восстановление сигнала 3.1 Перекрытие входных ...
0 комментариев