Z, “º ”: aº b(mod m)Û (a-b)M m, {Ka}=Z/(m)=Zm-основное множество кольца классов вычетов

2. Z, “º ”: aº b(mod m)Û (a-b)M m, {Ka}=Z/(m)=Zm-основное множество кольца классов вычетов.

3. Ф-множество фигур, " ~ "-подобие. Это отношение рождает понятие "форма фигуры" как класса подобных фигур.

Вопрос 5 . Элементы теории групп.

Алгебра как наука изучает различные алгебры: векторные пространства, группы, кольца. В вопросе требуется рассмотреть одну из них – группу. Определение группы задается аксиометрически и рассматривается одно из наиболее важных отношений, которое изучает эта наука, отношение эквивалентности, которое позволяет получать новые группы. Введем понятие алгебры.

Опр. 1. Алгеброй называется упорядоченная пара множеств <A,V>,где A-множество элементов любой природы, а V-множество алгебраических операций.

Опр. 2. Пусть дано множество A¹ Æ . Алгебраическая операция “o ” на множестве А называется отображение f: А® А, т.е. для " a,bÎ A, ($ ! ) cÎ A:ao b=c

Опр. 3. Группой называется алгебра <G, o > с одной алгебраической операцией “ o ”,

удовлетворяющей свойствам (аксиомам):

1° ." a,b,cÎ G, ao (bo c)=(ao b)o c,

2° .$ eG," aÎ G: eo a=ao e=a.

3° ." aÎ G, $ a° Î G:ao a° =a° o a=e.

e-нейтральный элемент относительно операции;

а° -симметричный относительно операции для а.

Группа, как алгебра, обладающая рядом свойств допускает классификацию. Представим ее схемой:

 

 

 

 

 

 

Будем рассматривать дальнейшие теоретические вопросы в терминах мультипликативной группы.

Теорема 4 (свойства группы). В группе нейтральный элемент единственный, для каждого элемента обращение единственно, уравнения ax=b, xa=b разрешимы и имеют единственное решение.

1. Пусть для еÎ G, $ e1,e2-нейтральный (единственный), рассмотрим

(1):e1e=ee1=e.

(2): e2e=ee2, откуда получим:

e1=e1e=e1ee2=ee2=e2, т.е. e1=e2.

2. Пусть для aÎ G, $ a1-1, a2-1-обратный для а.

Рассмотрим (1): a1-1a=aa1-1=e

(2): a2-1a=aa2-1=e , откуда получим:

a1-1aa2-1=ea2-1=a2-1,

a1-1aa2-1=a1-1e=a1-1 Þ a2-1=a1-1.

3. ax=b; aÎ GÞ $ a-1: aa-1=a-1a=e. Домножим уравнение на a-1:

a-1ax=a-1bÞ ex=a-1bÞ x=a-1b.

Пусть уравнение имеет два решения x1, x2:

ax1=b, ax2=b-равенства, домножим на а-1:

x1=a-1b, x2=a-1b.

В силу алгебраичности операции x1=x2, что и требовалось доказать.

Из определения группы видно, что G это множество, поэтому есть смысл рассматривать его подмножества. Среди подмножеств особый интерес представляют те, которые являются группами, т. е. замкнуты относительно той же групповой операции.

Опр. 5. Подмножество К группы <G, * > называется подгруппой, если оно само является группой <K, * > .

Теорема 6. (критерий подгруппы). Подмножество К группы G является подгруппой тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1° ." a,bÎ K, ab,baÎ K.

2° ." aÎ K, a-1Î K.

Þ G-группа, K Ì G. Пусть K p G (подруппы), тогда по определению К-группа. Следовательно, 1° ,2° выполнены.

Ü G-группа, K Ì G, 1° , 2° . Покажем, что K p G, т. е. К-группа.

Для доказательства необходимо проверить четыре условия:

Замкнутость К относительно групповой операции. Ассоциативность этой операции. Существование нейтрального элемента. Существование для каждого элемента обратного.

Из условия видно, что 1 и 4 выполнены. Второе имеет место в силу того, что КÌ G. Проверим 3:

Т. к. " aÎ K, $ a-1Î K ,условие 1° , то аa-1 Î К. Но аa-1= е, следовательно, еÎ К, что и требовалось доказать. Критерий важен в теории групп тем, что сокращает процедуру проверки, является ли подмножество группой (подгруппой).

Особую роль в теории групп имеют подгруппы, называемые нормальными, или нормальными делителями. Выведем это понятие.

Пусть G-группа, K p G-подгруппа. Зададим отношение “сравнения по подгруппе К”:

aº b(mod K)Û ab-1 Î K. Проверим, что отношение “º ”-является эквивалентностью.

1).]aÎ GÞ $ a-1G, aa-1=e, eÎ KÞ aa-1Î KÞ aº a(mod K)Þ ”º ”-рефлексивно.

2).]aº b(mod K)Þ ab-1Î K, (a-b-1)-1Î KÞ ba-1Î KÞ bº a(mod K)Þ ”º ”-симметрично.

3).]aº b(mod K), bº c(mod K)Þ ab-1Î K, bc-1Î KÞ (ab-1)(bc-1)Î KÞ ac-1Î KÞ

aº c(mod K)Þ ”º ”-транзитивно.

Таким образом, отношение сравнение по модулю в G является отношением эквивалентности, а эквивалентность, как известно, задает разбиение на G.

Обозначим класс эквивалентности, образованный элементами g Î G, g¯ и покажем, что g¯=Kg={hg| hÎ K, gÎ G}

Тогда множество классов эквивалентности, которые называются смежными классами группы G по подгруппе К, образуют фактор-множество.

{Kg| gÎ G}=G/”º ”-фактор-множество.

Аналогично можно вывести отношение сравнения по подгруппе иначе:

“aº b(mod K)Û b-1aÎ K”.

Для различения классы Кg и gК называют правым и левым, причем È Кg=G и È gK=G, a {Kg/gÎ G} и {gK/gÎ G}-образуют фактор-множества.

Возможен случай, когда для " gÎ G, Kg=gK. В этом случае К обозначают буквой Н и называют нормальным делителем группы G по Н. Чем интересен этот случай? Оказывается, над смежным классом группы G по Н можно производить операции, а это позволяет рассматривать новую алгебру.

Зададим операцию “ * ” на множестве смежных классов {Hg/g}, где нормальная подгруппа группы G так: Hg1Hg2=Hg1g2 . Покажем, что выведенная таким образом операция является алгебраической, т. е. покажем, что умножение не зависит от представителей классов, т. е., если

a, a'Î Hg1, b,b'Î Hg2, то abº a'b'(mod H), т.е. ab, a'b'Î Hg1g2.

ab=(h1g1)(h2g2)=h1h2g1g2=hg1g2Þ abÎ Hg1g2;

a'b'=(h1'g1)(h2'g2)=h1'h2'g1g2=h'g1g2Þ a'b'Î Hg1g2, следовательно

ab, a'b' принадлежит одному классу, т. е. Операция “ * ” на множестве классов является алгебраической, что и дает возможность рассматривать новую группу.

Теорема 7. Множество смежных классов группы G по нормальной подгруппе Н образуют группу.

Т. к. G, H p G-нормальная, {Hg/g G}=G/”º ” . Зададим операцию: Hg1Hg2=Hg1g2. Покажем, что фактор-множество по введенной операции является группой.

1° .Hg1(Hg2Hg3)=Hg1(Hg2g3)=Hg1(g2g3)=H(g1g2)g3=Hg1g2Hg3=(Hg1Hg2)Hg3Þ операция ассоциативная.