Hg=He=H " Hg, H: HgH=HgHe=Hge=Hg, т. е. Н-выполняет роль нейтрального элемента на фактор-множестве

2. Hg=He=H " Hg, H: HgH=HgHe=Hge=Hg, т. е. Н-выполняет роль нейтрального элемента на фактор-множестве.

3.Hg, Hg-1: HgHg-1=Hgg-1=He=H;

Hg-1Hg=Hg-1g=He=H, семейство класса Hg-1 выполняет роль обратного для Hg,

т.е. (Hg)-1=Hg-1.

так как все аксиомы имеют место, то мы имеем дело с группой. Ее обозначают G/H и называют фактор-группой.

 

 

Вопрос 6 Элементы теории колец.

В вопросе требуется ввести понятие кольца, рассмотреть классификацию колец и построить фактор-кольцо.

Так как кольцо это пример одной из алгебр, то следует напомнить определение алгебры.

Опр.1

Алгеброй называется упорядоченное множество двух множеств <A,U>, где А0

множество элементов любой природы, а U-множество операций.

Для введения определения кольца необходимо рассмотреть непустое множество и задание операций.

Опр.2

Кольцом называется алгебра < K,+,> с двумя бинарными операциями, которые

удовлетворяют следующим свойствам:

1. < K, +> - аддитивная абелева группа,

2. “,, - ассоциативно,

Имеет место два дистрибутивных закона, то есть а,в,с К , а(в+с)=ва+са.

Кольцо как алгебра допускает классификацию, представим её схемой:

Кольцо

С единицей, т.е.		Без единицы
Коммутативны т.е.		Не коммутативны

С делителями нуля, т.е.		Без делителей нуля.

Замечание: Определение всех классов колец предоставляется сформулировать читателю.

Опр.3

Коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называеться областью

целостности.

Примером области челосности является кольцо Z , колцо многочленов от одной переменной K, где К- область челостности.

Так как кольцо это алгебра, а алгебра это множество, то есть смысл говорить о его

подмножествах, среди которых особый интерес представляют подкольца.

Опр.4

Подмножество I кольца К называется его подкольцом, если оно само является

кольцом относительно операции кольца К .

Для проверки является ли рассматриваемое подмножество кольца К его подкольцом удобно пользоваться критерием подкольца.

Теорема 5.

(критерий подкольца) Подмножество I кольца К является подкольцом

тогда и только тогда, когда оно замкнуто относительно вычитания элементов и умножения , т.е. если (1)

(2)

Ü Пусть (где “ ,,- “ быть подкольцом ,,) .Покажем что (1) и (2) имеют место.

Так как , то он является кольцом, а кольцо это абелева група, тогда для , поэтому следовательно (1) выполнено. Выполнимость (2) вытекает из того что I замкнуто относительно умножения.

Пусть , (1),(2) – выполнены. Покажем, что I – подкольцо, т.е. что I – кольцо.

Для этого проверим выполнимость всех аксиом кольца. Из (2) следует, что I – замкнуто относительно умножения, ассоциативность умножения следует из того,что .

Рассмотрим условие (1). Пусть,но , , ассоциатив -ность сложения вытекает из того что . Таким образом, все аксиомы кольца имеют место в I, следовательно, I – кольцо. Так как , то это подкольцо.

Интересен случай подкольца, когда оно является идеалом. Введём это понятие.

Опр. 6

Подкольцо I кольца K называется идеалом если для

В кольце с существует особый идеал: Такой идеал называется главным идеалом. Главный идеал является наименьшим подкольцом, образованным

Пусть К является областью целостности. Зададим на нём отношение “сравнения по идеалу I ”.

Опр.7

. Легко проверить, что “ “ – отношение эквивалентности:

10.т.к.а-а=0Î I, то отношение рефлексивно