Если а º в( mod I) Þ а-вÎ I Þ в-аÎ I Þ в º а( mod I) Þ отношение симметрично

20. Если а º в( mod I) Þ а-вÎ I Þ в-аÎ I Þ в º а( mod I) Þ отношение симметрично

30.Если а º в( mod I) , в º c( mod I) Þ а-вÎ I, в-сÎ I Þ (а-в)+(в-с)= а-сÎ I Þ

а º c( mod I) Þ отношение транзитивно.

Как известно, отношение эквивалентности задаёт разбиение.

Ка - класс эквивалентности по отношению сравнения по идеалу, называется классом вычетов. Классы вычетов обладают всеми свойствами классов эквивалентности, т.е.

классы эквивалентности не пустые, классы не пересекаются, классы состоят из элементов кольца, связанные заданным отношением каждый элемент из K входит в один из классов объединение классов вычетов совпадает с кольцом.

Множество классов вычетов {Ка /аК} называется фактор-множество.

Имеет место теорема о фактор-множестве.

Теорема 8

Фактор-множество с операциями сложения и умножения классов вычетов

является кольцом.

Для доказательства выполним следующие процедуры:

зададим операции и проверим их корректность; операции подчиняются аксиоматике кольца.

n 1).Ка+Кв=Ка+в , КаКв=Кав

Ка , Кв покажем, что а+в

Ка , а+вКа+в , Квав

Покажем, что Ка+в , Кав

Если и

а+в

ав

что доказывает, что введённые операции корректны, т.е. являются алгебраическими.

2).Ка+(Кв+Кс)=Ка+Кв+с=Ка+(в+с)=К(а+в)+с=К(а+в)+Кс=(Ка+Кв)+Кссложение ссоциативно

Ка+Кв=Ка+в=Кв+а=Кв+Ка сложение коммутативно;

Ка+К0=Ка+0=Ка К0=I идеал выполняет роль нулевого элемента относительно сложения;

Ка+К(-а) = Ка+(-а)= К0= I К(-а)= -Ка –противоположные классы

Ка.(Кв.Кс) = Ка.Квс=Ка(вс)=К(ав)с=Кав.Кс= (Ка.Кв).Кс

Ка .(Кв+Кс) = КаКв+с= Ка(в+с)= Кав+ас = Кав+Кас

Всё рассмотренное доказывает выполнимость аксиоматики кольца, поэтому - кольцо. Оно обозначается и называется фактор-кольцом кольца К по идеалу I.

Кроме отношения сравнения по идеалу I в кольце рассматривается ещё отношение-

“ отношение делимости “. Рассмотрим его.

Опр. 7

Элемент называется делящимся на элемент в кольце К, если существует

такое , что а=вс. а –называется делимое, в –делитель, с–частное. И обозначается “ M ,,

Отношение делимости позволит ввести ещё одно отношение – ассоциативности элементов - “ ~ ,, а ~в аM в / вM а.

Элемент называется обратимым в К если для него существует такое, что

ав=1. Элементы а и в называют так же делителями единицы.

Отношение делимости обладает рядом свойств, оно является нестрогим числовым порядком, т.е.

10 “ M ,, - рефлексивно : а0, аM а.

20 “ M ,, - антисимметрично : аM в, вM а Þ а = в.

30 “ M ,, - транзитивно : аM в, вM с, то аM с.

40 а,вM с Þ а+вM с, авM с.

50 а1,а2, .... ,аn , aI M c Þ а1,а2, ... ,аn M с. и ряд других свойств.

Отношение “ ~ “ является отношением эквивалентности.

10 M а Þ а ~ а.