Навигация
3.1.1. Схема Рунге.
Разложение функции в ряд Фурье, или гармонический анализ, оказывается нужным во многих чисто практических вопросах машиноведения, электротехники и пр. Но в этих случаях очень редко приходится непосредственно пользоваться формулами Эйлера-Фурье:
, 
, 
, 
(10)
для вычисления коэффициентов разложения. Дело в том, что функции, которые нужно подвергнуть гармоническому анализу, обыкновенно задаются таблицей своих значений или графиком. Таким образом, аналитического выражения функции в нашем распоряжении нет; иногда к самому гармоническому анализу прибегают именно для того, чтобы таким путем получить хотя бы приближенное аналитическое выражение для функции. В этих условиях для вычисления коэффициентов Фурье нужно обратится к приближенным методам. Разумеется, на практике приходится пользоваться лишь немногими первыми членами тригонометрического разложения. Коэффициенты ряда Фурье в большинстве случаев убывают, а с ними быстро падает и влияние далеких гармоник.
Обычно дается (или снимается с графика) ряд равноотстоящих ординат, т.е. ряд значений функции 
, отвечающих равноотстоящим значениям аргумента 
. По этим ординатам величины (10) можно приближенно вычислить, пользуясь методами изложенными выше. Но вычисления здесь оказываются довольно громоздкими, и для того чтобы упростить и, так сказать, автоматизировать их, придумано много различных приемов, один из которых мы и изложим.
3.1.1.1. Схема для двенадцати ординат.
Пусть, скажем, промежуток от 0 до 
разделен на k равных частей и пусть известны ординаты
,
отвечающие точкам деления
.
тогда по формуле трапеции имеем (конечно, лишь приближенно!):
.
Ввиду периодичности нашей функции 
, значение 
можно написать и так:
.
Аналогично, применяя формулу трапеции к другим интегралам (10), найдем:
или
,
а также
.
Положим сначала k=12 и будем исходить из двенадцати ординат
,
отвечающих двенадцати ординатам равноотстоящих значениям аргумента:
,
Все множители, на которые придется умножить эти ординаты, по формулам приведения сведутся к следующим:
.
Именно легко проверить, что
(11)
Например,
что совпадает с написанным выше выражением.
Для того чтобы свести выкладки (особенно - умножение) к минимуму, их производят по определенной схеме, предложенной Рунге.
Сначала выписываются в указанном ниже порядке ординаты и над каждой парой подписанных одна под другой ординат производят сложение и вычитание:
| ординаты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||
| суммы |
|
|
|
|
|
|
|
| разности |
|
|
|
|
|
Затем аналогично выписывают эти суммы и разности и снова подвергают их сложению и вычитанию:
| суммы |
|
|
|
|
|
|
|
| ||
| суммы |
|
|
|
|
| разности |
|
|
|
| разности |
|
|
|
|
|
| ||
| суммы |
|
|
|
| разности |
|
|
Теперь, получив после всех этих сложений и вычитаний ряд величин 
, мы можем следующим образом выразить через них искомые коэффициенты:
(12)
Нетрудно убедится, что эти формулы в точности соответствуют формулам (11).
Похожие работы
... . Сигнал задан в виде функции времени U(t) , повторяющийся с периодом Т. Требуется выполнить спектральный анализ сигнала и построить графики амплитудного и фазового спектров сигнала. 2.Численные методы расчетов спектральных и временных характеристик периодических сигналов Для расчета спектральных и временных характеристик периодического сигнала используем численные методы, чтобы упростить ...
... , либо функция задана таблично , нахождение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница невозможно. Используют приближенные формулы, которые называют квадратурными, либо формулами численного интегрирования. 1) Формулы прямоугольника Пусть y=f(x) непрерывна на [a,b]. Требуется вычислить . Разобьем отрезок интегрирования на n равных частей, точками xi, i=0,n xi=a-i*h шаг ...
... для графа на рис. 3, приняв, что дерево образовано ветвями 2, 1 и 5 Ответ: B= Решить задачу 5, используя соотношения (8) и (9). Теория / ТОЭ / Лекция N 3. Представление синусоидальных величин с помощью векторов и комплексных чисел. Переменный ток долгое время не находил практического ...
... системам линейных алгебраических уравнений с более чем одной неизвестной; MATLAB решает такие уравнения без вычисле-ния обратной матрицы. Хотя это и не является стандартным математическим обозначением, система MATLAB использует терминологию, связанную с обычным делением в одномерном случае, для описания общего случая решения совместной системы нескольких линейных уравнений. Два символа деления / ...
0 комментариев