3.1.2.3. Быстрое преобразование Фурье.

Осуществление прямого и обратного дискретных преобразований Фурье

Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов

Является составной частью решения многих задач решения многих задач. Непосредственное осуществление этих преобразований по формулам (4), (7) требует Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов арифметических операций. Рассмотрим вопрос о возможности сокращение этого числа. Для определенности речь пойдет о вычислении коэффициентов Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов по заданным значениям функции. Идея построения алгоритмов быстрого преобразования Фурье опирается то, что при составном N в слагаемых правой части (7) можно выделить группы, которые входят в выражения различных коэффициентов Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов. Вычисляя каждую группу только один раз, можно значительно сократить число операций.

Рассмотрим сначала случай Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов. Представим q, j, лежащие в пределах Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов, в виде Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов, где Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов. Имеем цепочку соотношений

Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов.

Из равенства

Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов

и предыдущего соотношения получим

Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов,

где

Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов.

Непосредственное вычисление всех Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов требует Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов арифметических операций, а последующее вычисление Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов - еще Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов операций. Поэтому при Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов общее число операций составит Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов. Точно так же при Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов строится алгоритм вычисления совокупности значений Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов, для которого общее число операций не превосходит Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов, здесь С – постоянная, не зависящая от N. Выпишем соответствующие расчетные формулы для наиболее употребительного случая Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов. Представим числа q, l в виде

Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов,

где Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов. Величину Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов представим в виде

Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов,

где s - целое, равное сумме всех слагаемых вида Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов, которых Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов. Очевидно, что Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов, поэтому

Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов

После перегруппировки слагаемых имеем

Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов

Это соотношение можно записать в виде последовательности рекуррентных соотношений

Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов

где

Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов

Переход от каждой совокупности Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентовк совокупности Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов требует O(N) арифметических и логических операций; всего таких шагов r, поэтому общее число операций имеет порядок Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов.

Вычисление при помощи совокупностей Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов дает меньшее накопление вычислительной погрешности по сравнению с формулами (3.7). Определенные удобства имеются также при вычислении экспонент, входящих в расчетные формулы. При вычислении величин Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов используются значения Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов, Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов. В частности, при m=1 величина Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов принимает значения +1 или -1. Для вычисления значений Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов потребуются еще значения Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов при нечетных j, удовлетворяющих неравенству Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов. Их можно вычислить через уже вычисленные до этого величины, в частности, при помощи соотношений Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов

Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов

где, в свою очередь,

Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов

при Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов.

В ряде случаев удается еще уменьшить число операций. Один из таких случаев упоминался выше: дана вещественная функция Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов, известная в точках Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов; требуется найти коэффициенты интерполяционного многочлена

Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов.

Другой случай: при четном N заданы значения функции

Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов

в точках Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов; нужно определить коэффициенты Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов.

3.1.3. Расчет коэффициентов на ЭВМ.

Было запрограммировано два метода расчета коэффициентов на языке Паскаль:

по схеме Рунге;

метод трапеций.

3.1.3.1. Схема Рунге.

Расчет ведется для двенадцати орт. Для большего количества ординат алгоритм остается аналогичным с небольшими корректировками в основной части программы (необходимо заменить вычислительные формулы для коэффициентов). См. приложение 1.


Информация о работе «Ряды Фурье. Численные методы расчета коэффициентов»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 22876
Количество таблиц: 13
Количество изображений: 6

Похожие работы

Скачать
12650
6
6

... . Сигнал задан в виде функции времени U(t) , повторяющийся с периодом Т. Требуется выполнить спектральный анализ сигнала и построить графики амплитудного и фазового спектров сигнала. 2.Численные методы расчетов спектральных и временных характеристик периодических сигналов Для расчета спектральных и временных характеристик периодического сигнала используем численные методы, чтобы упростить ...

Скачать
9976
0
16

... , либо функция задана таблично , нахождение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница невозможно. Используют приближенные формулы, которые называют квадратурными, либо формулами численного интегрирования. 1)  Формулы прямоугольника Пусть y=f(x) непрерывна на [a,b]. Требуется вычислить . Разобьем отрезок интегрирования на n равных частей, точками xi, i=0,n xi=a-i*h  шаг ...

Скачать
352659
353
269

... для графа на рис. 3, приняв, что дерево образовано ветвями 2, 1 и 5 Ответ: B= Решить задачу 5, используя соотношения (8) и (9).  Теория / ТОЭ / Лекция N 3. Представление синусоидальных величин с помощью векторов и комплексных чисел. Переменный ток долгое время не находил практического ...

Скачать
249178
21
46

... системам линейных алгебраических уравнений с более чем одной неизвестной; MATLAB решает такие уравнения без вычисле-ния обратной матрицы. Хотя это и не является стандартным математическим обозначением, система MATLAB использует терминологию, связанную с обычным делением в одномерном случае, для описания общего случая решения совместной системы нескольких линейных уравнений. Два символа деления / ...

0 комментариев


Наверх