Гомоморфизм и изоморфизм алгебр

1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр

Определение 1.7. Пусть А и В – две *-алгебры. Назовем гомоморфизмом (*-гомоморфизмом) А в В такое отображение f множества А в В, что

f (x + y) = f (x) + f (y),

f (αx) = α f (x),

f (xy) = f (x) f (y),

f (x*) = f (x)*

для любых х,yА, αС. Если отображение f биективно, то f называют изоморфизмом (*-изоморфизмом).

Определение 1.8. Совокупность I элементов алгебры А называется левым идеалом, если:

(i)         I ≠ A;

(ii)       Из х, yI следует x + y I;

(iii)      Из хI, а αА следует α хI.

Если I = А, то I называют несобственным идеалом.

Аналогично определяется и правый идеал. Идеал, являющийся одновременно и левым, и правым, называется двусторонним.

Всякий идеал автоматически оказывается алгеброй.

Пусть I – двусторонний идеал в алгебре А. Два элемента х, y из А назовем эквивалентными относительно идеала I, если х-yI. Тогда вся алгебра А разбивается на классы эквивалентных между собой элементов. Обозначим через А совокупность всех этих классов. Введем в А₁ операции сложения, умножения на число и умножения, производя эти действия над представителями классов. Так как I – двусторонний идеал, то результат операций не зависит от выбора этих представителей.

Следовательно, А₁  становится алгеброй. Эта алгебра называется фактор-алгеброй алгебры А по идеалу I и обозначается A/I.

*-гомоморфизм алгебр описывается при помощи так называемых самосопряженных двусторонних идеалов.

Определение 1.9. Идеал I (левый, правый или двусторонний) называется самосопряженным, если из хI следует х*I.

Самосопряженный идеал автоматически является двусторонним. Действительно, отображение х → х* переводит левый идеал в правый и правый идеал в левый; если поэтому отображение х → х* переводит I в I, то I есть одновременно и левый и правый идеал.

В фактор-алгебре A/I по самосопряженному двустороннему идеалу I можно определить инволюцию следующим образом. Если х-yI, то х*-y*I. Поэтому при переходе от х к х* каждый класс вычетов х по идеалу I переходит в некоторый другой класс вычетов по I. Все условия из определения 1.2. выполнены; следовательно, A/I есть *-алгебра.

Если х → х΄ есть *-гомоморфизм А на А΄, то полный прообраз I нуля (то есть ядро данного гомоморфизма) есть самосопряженный двусторонний идеал в А. Фактор-алгебра A/I *-изоморфна *-алгебре А΄.

Обратно, отображение х → [х] каждого элемента хА в содержащий его класс вычетов по I есть *-гомоморфизм алгебра А на A/I.

§ 2. Представления

2.1. Определения и простейшие свойства представлений.

Определение 2.1. Пусть А - *-алгебра, Н – гильбертово пространство. Представлением А в Н называется *-гомоморфизм *-алгебры А в *-алгебру ограниченных линейных операторов L(H).

Иначе говоря, представление *-алгебры А в Н есть такое отображение из А в L(H), что

π (x+y) = π (x) + π (y), π (α x) = α π(x),

π (xy) = π (x) π (y), π (x*) = π (x)*

для любых х, y  А и α  С.

Размерность гильбертова пространства Н называется размеренностью π и обозначается dimπ. Пространство Н называется пространством представления π.

Определение 2.2. Два представления π₁ и π₂ инволютивной алгебры А в Н₁ и Н₂ соответственно, эквивалентны (или унитарно эквивалентны), если существует унитарный оператор U, действующий из гильбертова пространства Н₁ в гильбертово пространство Н₂, переводящий π₁(х) в π₂(х) для любого хА, то есть

U π₁(х) = π₂(х) U  для всех х  А.

Определение 2.3. Представление π называется циклическим, если в пространстве Н существует вектор f такой, что множество всех векторов π (х)f (для всех хА) плотно в Н. Вектор f называют циклическим (или тотализирующим) для представления π.

Определение 2.4. Подпространство Н₁Н называется инвариантным, относительно представления π, если π (А)Н₁Н₁.

Если Н₁ инвариантное подпространство, то все операторы π(х) (хА) можно рассматривать как операторы Н₁. Сужения π(х) на Н₁ определяют подпредставления π₁ *-алгебры А в Н₁.

Теорема 2.1. Если Н₁ инвариантное подпространство Н, то его ортогональное дополнение также инвариантно.

Доказательство. Пусть f ортогонален к Н₁, то есть (f, g) = 0 для всех gН₁. Тогда для любого хА (π(х)f, g) = (f, π(х)*g) = (f, π(х*)g) = 0, так как π(х*)gН₁. Следовательно, вектор π(х)f также ортогонален к Н₁.

Обозначим через Р₁ оператор проектирования в Н на подпространство Н₁Н₁.

Теорема 2.2. Н₁ – инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления перестановочны с оператором проектирования Р₁ на Н₁.

Доказательство. Пусть Н₁ – инвариантное подпространство и fН₁, но также π(х)f Н₁. Отсюда для любого вектора fН

π(х)Р₁f Н₁

следовательно, Р₁π(х)Р₁f = π(х)Р₁f ,

то есть Р₁π(х)Р₁ = π(х)Р₁.

Применяя операцию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х* вместо х, получаем, что также

Р₁π(х)Р₁ = Р₁π(х).

Следовательно, Р₁π(х) = π(х)Р₁; операторы Р₁ и π(х) коммутируют.

Обратно, если эти операторы перестановочны, то для fН₁

Р₁π(х)f = π(х)Р₁f = π(х)f ;

Следовательно, также π(х)f Н₁. Это означает, что Н₁ – инвариантное подпространство.

Теорема 2.3. Замкнутая линейная оболочка К инвариантных подпрост-
ранств есть также инвариантное подпространство.

Доказательство. Всякий элемент g из К есть предел конечных сумм вида

h = f₁ + … + f_n, где f₁, …, f_n – векторы исходных подпространств. С другой стороны, π(х)h = π(х)f₁ +…+ π(х)f_n есть сумма того же вида и имеет своим пределом π(х)g.

 

2.2. Прямая сумма представлений. Пусть I – произвольное множество. Пусть (π_i)_iI - семейство представлений *-алгебры А в гильбертовом пространстве Н_i (iI). Пусть

|| π_i (х) || ≤ с_х

где с_х – положительная константа, не зависящая от i.

Обозначим через Н прямую сумму пространств Н_i, то есть Н = Н_i. В силу (2.1.) можно образовать непрерывный линейный оператор π(х) в Н, который индуцирует π_i (х) в каждом Н_i. Тогда отображение х → π(х) есть представление А в Н, называемое прямой суммой представлений π_i  и обозначаемое π_i или π₁…..π_n в случае конечного семейства представлений (π₁…..π_n). Если (π_i)_iI – семейство представлений *-алгебры А, совпадающих с представлением π, и если CardI = c, то представления π_i обозначается через сπ. Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным π.

Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.

Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань, то Х содержит максимальный элемент.

Теорема 2.4. Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений.

Доказательство. Пусть f₀ ≠ 0 – какой-либо вектор из Н. Рассмотрим совокупность всех векторов π(х)f₀, где х пробегает всю *-алгебру А. Замыкание этой совокупности обозначим через Н₁. Тогда Н₁ – инвариантное подпространство, в котором f₀ есть циклический вектор. Другими словами, Н₁ есть циклическое подпространство представления π.

Если Н₁ = H, то предложение доказано; в противном случае H-Н₁ есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н₂ ортогональное Н₁.

Обозначим через М совокупность всех систем {Н_α}, состоящих из взаимно ортогональных циклических подпространств представления; одной из таких систем является построенная выше система {Н₁, Н₂}. Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М образует частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно, верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {Н_α}М будет объединение этих систем. Поэтому в М существует максимальная система {Н_α}. Но тогда Н=Н_α; в противном случае в инвариантном подпространстве Н-(Н_α) существовало бы отличное от {0} циклическое подпространство Н₀ и мы получили бы систему {Н_α}Н₀М, содержащую максимальную систему {Н_α}, что невозможно.