Спектральная теорема. Пусть Н – сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема

2.2. Спектральная теорема. Пусть Н – сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3. (спектральная теорема в форме операторов умножения). Паре ортопроекторов Р₁ и Р₂  в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н_0,0Н_0,1Н_1,0 Н_1,1 ((С²L₂((0, ), dρ_к))) (2.4.)

где ρ₁ > ρ₂ >… ρ_к меры на интервале (0, ), такое, что имеют место равенства

P₁ = P_1,0 P_1,1  ((I_к )) (2.5.)

Р₂ = P_0,1 P_1,1 (I_к )) (2.6.)

I_к – единичный оператор в L₂((0, ), dρ_к)

Доказательство. Пространство Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных подпространств

Н = Н_0,0 Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1  Н΄, то есть отщепить все одномерные представления от исходного. Н΄ состоит из инвариантных двумерных подпространств.

Всякому положительному функционалу F в *-алгебре P₂  отвечает циклическое представление π_F *-алгебры P₂  в некотором гильбертовом пространстве Н_F. При этом Н_F можно реализовать как L₂(F), то есть как гильбертово пространство всех функций с интегрируемым квадратом по мере μ_F на Т.

Пусть каждому вектору ξН поставим в соответствие подпространство Н_ξ Н, которое получается замыканием множества векторов вида π(х)ξ, где хА. Ограничения операторов из π(А) на Н_ξ является циклическим представлением. Обозначим его через π_ξ, а соответствующую меру на Т через μ_ξ. Введем упорядочение в Н, полагая ξ>η, если μ_ξ > μ_η (то есть μ_η абсолютно непрерывна по мере μ_ξ).

Если ηН_ξ, то Н_ηН_ξ, тогда π_η – циклическое подпредставление π_ξ. Пусть Е Т и μ_ξ (Е) = 0, тогда μ_η (Е) = 0, следовательно μ_ξ > μ_η, а значит ξ>η.

Множество максимальных векторов всюду плотно в Н. Пусть существует счетное разложение Н = Нη_к. Пусть {ζ_i} – последовательность, в которой каждый из векторов η_i встречается бесконечное число раз. Определим ξ_к индуктивно, так, чтобы выполнялись условия:

1)   ξ_к+1 – максимальный вектор в (Нξ_i)^┴,

2)   d (ζ_к, Нξ_i) ≤ .

Тогда разложение Н = Нξ_к такое что ξ_к>ξ_к+1 и μ_к>μ_к+1 .

Пусть представления π_μ в L₂(Т, μ) и π_ν в L₂(Т, ν) эквивалентны. Пусть v:L₂(Т, μ) →L₂(Т, ν) устанавливающий их эквивалентность изоморфизм. Положим f=1, а=v(f), тогда для любой непрерывной функции g на Т v(g)=vπ_μ(g)f = π_ν (g)vf = π_ν (g)a = ga. Так как v – изометрическое отображение, то dμ=|a|²dν. Таким образом мера μ абсолютно непрерывна по мере ν. Аналогично, рассматривая обратный оператор, получаем, что ν абсолютно непрерывна по μ, то есть эти меры эквивалентны. Значит существует разложение Н΄ = (С²L₂(Т, μ_к)), где μ₁>μ₂>… и соответствующие этим мерам представления неприводимы и неэквивалентны. Это доказывает равенство (2.4.). Тогда из (2.4.) следуют формулы:

P₁ = P_1,0 P_1,1  ((I_к ))

Р₂ = P_0,1 P_1,1 (I_к ))

I_к – единичный оператор в L₂((0, ), dρ_к).

Теорема 2.4. (спектральная теорема в форме разложения единицы). Паре ортопроекторов Р₁ и Р₂  в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н_0,0Н_0,1Н_1,0 Н_1,1 С²Н(φ)dЕ(φ) (2.7.)

в прямой интеграл инвариантных относительно Р₁, Р₂ подпространств и определенное на Т = (0, ) разложение dЕ(φ) единичного оператора I₊=E(0, ) в Н₊ =С²Н(φ)dЕ(φ), такое что имеет место равенство

P₁ = P_1,0 P_1,1  I₊ (2.8.)

Р₂ = P_0,1 P_1,1 dЕ(φ) (2.9.)

Доказательство. Всякий самосопряженный оператор А, действующий в Н, изометрически изоморфен оператору умножения на независимую переменную в пространстве L₂(R, dρ_к), где ρ_к зависит от разложения единицы оператора А. Тогда доказательство спектральной теоремы в форме разложения единицы следует непосредственно из спектральной теоремы в форме операторов умножения.

Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов

§1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве

Похожие работы

* Алгебры и их применение

Скачать

65703

0

0

... ;0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно. § 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве 2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 . Пусть А = Р1 - Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА = ...

Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике

Скачать

75806

4

238

... для того, чтобы показать школьникам образец современной математической теории. 2.2.3.2. ПРОГРАММА И СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЙ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА «ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ» В качестве экспериментальной работы мы предлагаем изучение элементов современной алгебры в рамках факультативного курса по математике. Нами была разработана программа факультативного курса «Элементы современной алгебры» и ...

Алгебра логики

Скачать

10756

9

3

... угодно сложные в логическом отношении схемы, можно строить, используя два приема: 1.  последовательное соединение элементов; 2.  перестановка входов элементов. Этим двум физическим приемам в алгебре логики соответствуют: 1.  принцип суперпозиции (подстановка в функцию вместо ее аргументов других функций); 2.  подстановка аргументов (изменение порядка записи аргументов функций или замена ...

Вопросы к гос. экзамену по дисциплине "Математика – Алгебра"

Скачать

66655

0

0

... 4. Бинарные отношения. Математика как наука отражает мир взаимодействующих простых и сложных объектов (вещей, явлений, процессов). Абстрагируясь от реальности, математика рассматривает унарные, бинарные и другие отношения. В вопросе требуется рассмотреть бинарные отношения, их свойства и особо обратить внимание на отношение эквивалентности, заданного на одном множестве. Рассмотрим ...