Конечномерные представления

2.4. Конечномерные представления.

Теорема 2.7. Пусть π – конечномерное представление *-алгебры А. Тогда π = π₁…..π_n , где π_iнеприводимы.

Доказательство. Если dimπ = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimπ = q и что наше предложение доказано при dimπ<q. Если π неприводимо, то предложение снова доказано. В противном случае π = π΄  π΄΄, причем dimπ΄<q, dimπ΄΄<q, и достаточно применить предположение индукции.

Разложение π = π₁…..π_n не единственно. Тем не менее, мы получим некоторую теорему единственности.

Пусть ρ₁, ρ₂ – два неприводимых подпредставления π. Им отвечают инвариантные подпространства Н₁ и Н₂. Пусть Р₁ и Р₂ – проекторы Н на Н₁ и Н₂. Они коммутируют с π(А). Поэтому ограничение Р₂ на Н₁ есть оператор, сплетающий ρ₁ и ρ₂. Следовательно, если Н₁ и Н₂ не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что ρ₁ и ρ₂ эквивалентны. Это доказывает, что любое неприводимое подпредставление π эквивалентно одному из π_i. Итак, перегруп-
пировав π_i, получаем, что π = ν₁…..ν_m, где каждое ν_i есть кратное ρ_iν_i΄ неприводимого представления ν_i΄, и ν_i΄ попарно эквивалентны. Если ρ – неприводимое представление π, то предыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантное подпространство Н΄ ортогонально всем инвариантным подпространствам Н_i, отвечающих ν_i, кроме одного. Поэтому Н΄ содержится в одном из Н_i. Это доказывает, что каждое пространство Н_i определяется однозначно: Н_i – это подпространство Н, порожденное пространствами подпредставлений π, эквивалентных ν_i΄. Таким образом, доказано предложение.

Теорема 2.8. В разложении π = ρ₁ν₁΄…..ρ_mν_m΄ представления π, (где ν₁΄,…, ν_m΄ неприводимы и неэквивалентны) целые числа ρ_i и классы представлений ν_i΄ определяются единственным образом, как и пространства представлений.

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений. Напомним определение борелевского пространства.

Определение 2.7. Борелевским пространством называется множество Т, снабженное множеством В подмножеств Т, обладающим следующими свойствами: ТВ, ØВ, В инвариантно относительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнению.

Определение 2.8. Пусть Т₁, Т₂ – борелевские пространства. Отображение f: Т₁→Т₂ называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т₂ есть борелевское множество в Т₁.

Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.

Пусть Т – борелевское пространство и μ – положительная мера на Т.

Определение 2.9. μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т есть пара ε = ((H(t))_tT, Г), где (H(t))_tT – семейство гильбертовых пространств, индексы которых пробегают Т, а Г – множество векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:

(i) Г – векторное подпространство Н(t);

(ii)        существует последовательность (х₁, х₂,…) элементов Г таких, что для любого tT элементы х_n(t) образуют последовательность H(t);

(iii)       для любого хГ функция t→||x(t)|| μ – измерима;

(iv)       пусть х – векторное поле; если для любого yГ функция t→(x(t), y(t)) μ – измерима, то хГ.

Пусть ε = ((H(t))_tT, Г) μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Векторное поле х называется полем с интегрируемым квадратом, если хГ и ||x(t)||² dμ(t) < +∞.

Если х, y – с интегрируемым квадратом, то х+y и λх (λС) – тоже и функция t →(x(t), y(t)) интегрируема; положим

(x, y) = (x(t), y(t)) dμ(t)

Тогда векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н, называемое прямым интегралом Н(t) и обозначаемое x(t)dμ(t).

Определение 2.10. Пусть ε = ((H(t))_tT, Г) – измеримое поле гильбер-
товых пространств на Т. Пусть для любого tT определен оператор S(t)L(H(t)). Если для любого хT поле t→S(t)x(t) измеримо, то t→S(t) называется измеримым операторным полем.

Пусть Т – борелевское пространство, μ - положительная мера на Т, t→Н(t) - μ - измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Пусть для каждого tT задано представление π(t) *-алгебры А в Н(t): говорят, что t→π(t) есть поле представлений А.

Определение 2.11. Поле представлений t→π(t) называется измеримым, если для каждого хА поле операторов t→π(t)х измеримо.

Если поле представлений t→π(t) измеримо, то для каждого хА можно образовать непрерывный оператор π(х)=π(t) (x) dμ(t) в гильбертовом прост-
ранстве Н =Н(t) dμ(t).

Теорема 2.9. Отображение х→π(х) есть представление А в Н.

Доказательство. Для любых х, yА имеем

π(х+y) = π(t) (x+y) dμ(t) = (π(t) (x) + π(t) (y)) dμ(t) =π(t) (x )dμ(t) +

+π(t) (y) dμ(t) = π(х) +π(y)

Аналогично π(λх) = λπ(х), π(хy) = π(х) π(y), π(х*)=π(х)*

Определение 2.12. В предыдущих обозначениях π называется прямым интегралом π(t) и обозначается π =π(t) dμ(t).

Определение 2.13. Операторное поле t→φ(t)I(t)L(H(t)) где I(t)-единичный оператор в H(t), называется диагональным оператором в Н=Н(t)dμ(t).

Пусть ε = ((H(t))_tT, Г) – μ-измеримое поле гильбертовых пространств на Т, μ₁ – мера на Т, эквивалентная μ (то есть каждая из мер μ₁, μ абсолютно непрерывна по другой), и ρ(t)=. Тогда отображение, которое каждому хН==Н(t)dμ(t) составляет поле t→ρ(t^)-1/2х(t)Н₁=Н(t) dμ₁(t),

есть изометрический изоморфизм Н на Н₁, называемый каноническим.

Действительно,

||ρ(t^)-1/2х(t)dμ₁(t)||² = ||х(t)||²ρ(t^)-1 dμ₁(t) = ||х(t)||²dμ₁(t) = ||х(t)||²

Теорема 2.10. Пусть Т – борелевское пространство, μ – мера на Т, t→Н(t) – измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→π(t) – измеримое поле представлений А в Н(t),

Н =Н(t) dμ(t) , π₁==π(t )dμ(t),

Д – алгебра диагональных операторов в Н. Пусть μ₁ – мера на Т, эквивалентная μ,

Н₁ =Н(t) dμ₁(t) , π₁ =π(t) dμ₁(t),

Д₁ – алгебра диагональных операторов в Н₁. Тогда канонический изоморфизм преобразует π в π₁ и Д в Д₁.

Доказательство. Пусть ρ(t)=. Канонический изоморфизм из Н в Н₁ есть изометрический изоморфизм, который переводит х =x(t) dμ(t)Н в

Ux= ρ^-1/2х(t) dμ₁(t).

Пусть α А. Имеем

π₁(α)Ux = π(t)(α) ρ^-1/2 х(t) dμ₁(t) = Uπ(t)(α) х(t) dμ(t) = Uπ(α)x,

поэтому и преобразуем π в π₁. Тогда если SД, то аналогично SUx = USx, для любого хН.

Определение 2.14. Пусть Т, Т₁ – борелевские пространства; μ, μ₁ – меры на Т и Т₁ соответственно; ε = ((H(t))_tT, Г), Z₁ = ((H₁(t₁))_t1T1, Г), - μ-измеримое и μ₁-измеримое поля гильбертовых пространств. Пусть η: Т→Т₁ – борелевский изоморфизм, переводящий μ в μ₁; η-изоморфизм ε на ε₁ называется семейство (V(t))_tT, обладающее следующими свойствами:

(i)         для любого tT отображение V(t) является изоморфизмом Н(t) на Н₁(η(t));

(ii)        для того, чтобы поле векторов t→x(t)H(t) на Т было μ-измеримо, необходимо и достаточно, чтобы поле η(t)→V(t)х(t) Н₁(η(t)) на Т₁ было μ₁-измеримо.

Отображение, переводящее поле хН =Н(t) dμ(t) в поле η(t))→V(t)х(t) Н₁ = Н₁(t) dμ₁(t) , есть изоморфизм Н на Н₁, обозначаемый V(t) dμ(t).

Теорема 2.11. Пусть Т – борелевское пространство; μ – мера на Т, t→H(t) – μ- измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→ π(t) - μ- измеримое поле представлений А в H(t),

Н =Н(t) dμ(t), π ==π(t) dμ(t),

Д – алгебра диагональных операторов в Н. Определим аналогичным образом Т₁, μ₁, t₁→H₁(t₁), t₁→ π₁(t₁), Н₁, π₁, Д₁.

Предположим, что существует:

1.   N, N₁ – борелевские подмножества Т и Т₁, такие что μ (N) = μ (N₁) = 0;

2.   борелевский изоморфизм η: T\N →T\N₁, преобразует μ в μ₁;

3.   η-изоморфизм t→V(t) поля t→Н(t) (tZ\N) на поле t₁→Н₁(t₁) (t₁Т₁\N₁) такой, что V(t) преобразует π(t) в π₁(η(t)) для каждого t.

Тогда V =V(t)dμ(t) преобразует Д в Д₁ и π в π₁.

Доказательство. Обозначим через I_t, I_t1 единичные операторы в Н(t) и Н₁(t₁). Если fL^∞(T, μ) и если f₁ – функция на Т₁\N₁, получаемая из f|(T\N) при помощи η, то V преобразует f(t)I_tdμ(t) в f₁(t₁) I_t1 dμ₁(t₁), поэтому V преоб-
разует Д в Д₁. С другой стороны, пусть αА и х = х(t) dμ(t)Н.

Тогда

Vπ(α)х = Vπ(t)(α) х(t) dμ(t) = V(η^-1(t₁)) π(η^-1(t₁))(α) х(η^-1(t₁)) dμ₁(t₁) = π₁(t₁)(α) V(η^-1(t₁)) х(η^-1(t₁)) dμ₁(t₁) = π₁ (α) V х

Поэтому V преобразует π в π₁.

Приведем примеры прямых интегралов.

1.   Пусть имеется последовательность гильбертовых пространств  и дискретная мера μ на N, то есть μ(n)=1 для любого nN. Тогда

Н(n) dμ(n) = Н(n), то есть прямой интеграл сводится к ортогональ-
ной сумме.

2.   Пусть Т=[0, 1] и в каждой точке tТ соответствует поле комплексных чисел С, и на Т задана линейная мера Лебега dt. Тогда С dt = L₂ (0, 1).

Изоморфизм устанавливается отображением х = х(t) dt →х(t)L₂ (0, 1).

Разложения представления на неприводимые представления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.

§ 3. Тензорные произведения пространств

3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть  - конечная последовательность сепарабельных гильбертовых пространств,  - некоторый ортонормированный базис в Н_к.

Образуем формальное произведение

(3.1.)

α = (α₁,…, α_n)  (n раз), то есть рассмотрим упорядо-
ченную последовательность ( ) и на формальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что они образуют его ортонормиро-
ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называется тензорным произведением пространств Н₁,…, Н_n и обозначается Н₁,…, Н_n = . Его векторы имеют вид:

f =  (f_αC), || f ||² =< ∞ (3.2.)

Пусть g = , тогда скалярное произведение опреде-
ляется формулой

(f, g) = (3.3.)

Пусть f^(k) = (к = 1,…, n) – некоторые векторы. По определению

f = f⁽¹⁾_… f⁽ⁿ⁾ =  (3.4.)

Коэффициенты f_α=  разложения (3.4.) удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит , при этом

|| f || = (3.5.)

Функция Н₁,…, Н_n<>   линейна по каждому фрагменту, а линейная оболочка L векторов (3.4.) плотна в  - эта линейная оболочка называется алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н₁,…, Н_n и обозначается α.

Приведенное определение тензорного произведения зависит от выбора ортогонального базиса в каждом сомножителе . При изменении базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению.

Пусть Н₁ и Н₂ – гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорного произведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка L формальных произведений f₁ f₂, причем считается, что

(f₁ + g₁) f₂ = f₁ f₂ + g₁ f₂ (3.6.)

f₁ (f₂ + g₂) = f₁ f₂ + f₁ g₂ (3.7.)

(λ f₁) f₂=λ (f₁ f₂) (3.8.)

f₁ λ (f₂) = λ (f₁ f₂) (3.9.)

f₁, g₁Н₁; f₂, g₂ Н₂; λ С.

Иными словами, линейное пространство L факторизируется по его линейному подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми и левыми частями равенств (3.6.) – (3.9.).

Затем вводится скалярное произведение в L.

(f₁ f₂ , g₁ g₂ ) = (f₁ g₁)(f₂ g₂) (3.10.)

f₁, g₁Н₁; f₂, g₂ Н₂,

а затем распространяется на другие элементы из факторизованного L билинейным образом.