Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве

1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве.

Теорема 1.1. Пусть Н – гильбертово пространство. Если Р – ортопроектор, то (Р) = _р (Р) = {0, 1}, где _р (Р) – точечный спектр при условии, что Р ≠ 0 и Р ≠ I.

Доказательство. Рассмотрим выражение Рх - λх = y, х, y Н, λ С. Тогда (1 - λ) Р_х = Р_y . Если λ ≠ 1, то Р_х = Р_y. Если х ≠ 1, то х = (Р_y - y), тогда (Р) = {0, 1}.

Так как Р ≠ 0 и Р ≠ I, то существует х ≠ 0 такой, что Р_х ≠ 0. Тогда Р(Р_х) = Р_х, то есть 1_р (Р). Существует y ≠ 0: (I - Р)y ≠ 0, тогда Р(I - Р)y = 0 = 0 · (I - Р)y, то есть 0 _р (Р). Итак, (Р) = _р (Р) = {0, 1}.

1.2. Постановка задачи. Пусть заданы два ортопроектора Р₁ и Р₂ в унитарном пространстве Н. Тогда мы знаем спектр каждого из них. Найдем спектр суммы Р₁ + Р₂ в неприводимых представлениях.

1.3. Спектр в одномерном пространстве. Пусть dimH =1. Пусть, как и выше, Н_к – область значений оператора Р_к к = 1,2. Обозначим через А = Р₁ + Р₂ и найдем (А).

1) Р₁ = Р₂ = 0, то для любого х Н Ах = 0 или Ах = 0 · х, то есть 0  (А).

2) Р₁ = 0, Р₂ = I, то для любого х Н₂ = Н Ах = х, то есть 1  (А).

3) Р₁ = I, Р₂ = 0, то для любого х Н₁ = Н Ах = х.

4) Р₁ = Р₂ = I, то для любого х Н₁ = Н₂ = Н Ах = Р₁х + Р₂х = 2х, то есть 2  (А).

Таким образом, если dimH =1, то (А) {0, 1, 2}.

1.4. Спектр в двумерном пространстве. Пусть dimH =2. Сохраним обозначения (1.1.) Главы II.

1) х Н_0,0, тогда Ах = 0 и 0  (А).

2) х Н_0,1 или х Н_1,0, тогда Ах = х и 1  (А).

3) х Н_1,1, тогда Ах = 2х, то есть 2  (А).

Если существуют i, j= 0,1 такие, что Н_i,j ≠ {0}, то существуют k,l = 0,1 такие, что Н_i,j Н_k,l = H.  В этом случае (А) {0, 1, 2}.

Пусть теперь Н_k,l = {0} для любых k,l = 0,1. Допустим, что существует одномерное инвариантное подпространство L относительно Р₁ и Р₂, тогда АLL. Пусть х L, тогда Р_kх = λ_кх (k = 1, 2 ). Так как Р_k  ортопроектор, то возможны случаи:

(i)         λ₁ = 0, λ₂ = 0;

(ii)       λ₁ = 0, λ₂ = 1;

(iii)      λ₁ = 1, λ₂ = 0;

(iv)      λ₁ = 1, λ₂ = 1;

Но это означает, что  k,l = 0,1 такие, что Н_k,l ≠ {0} вопреки предположению. Тогда пара Р₁, Р₂ неприводима. Значит мы можем записать матрицы операторов Р₁ и Р₂ в некотором ортонормированном базисе, согласно теореме 1.1. главы II.

Р₁ = , Р₂  τ (0, 1)

Найдем спектр линейной комбинации ортопроекторов aР₁ + bР₂, a и b С. Для этого решим характеристическое уравнение det(aР₁ + bР₂ – λI) = 0.

(1.1.)

Тогда ,  (1.2)

Положим a = 1, b =1, ε = , тогда λ₁ = 1+ε , λ₂ = 1-ε и 0<ε<1 (поскольку 0<τ<1.

Тогда (А) {0, 1, 2}{1+ε , 1-ε}. Причем собственные значения 1+ε и 1-ε входят в спектр А одновременно.

1.5. Спектр в n-мерном пространстве. Пусть dimH =n. Если Н =КL, где К, L инвариантные подпространства относительно оператора А, то для любого х Н существует единственное разложение x = k +l, k K, l L. Пусть λ (А), тогда Ах = λх =λk +λl;, следовательно, если пространство Н разложено в ортогональную сумму инвариантных подпространств, то спектр оператора А можно найти как объединение спектров сужений оператора А на соответствующие инвариантные подпространства.

Используя лемму 1.2. главы II, представим Н в виде ортогональной суммы подпространств Н₀= Н_0,0, Н₁=Н_0,1Н_1,0, Н₂=Н_1,1 и двумерных, инвариантных относительно А, подпространств Нφ_к φ_к (0, ), (к = 1,…, s). При этом операторы Р₁ и Р₂ неприводимы в Нφ_к (к = 1,…, s), и собственные значения 1+ε_к, 1-ε_к входят одновременно в спектр А. Так как А*=А, то соответствующие собственные векторы ортогональны. Тогда имеет место разложение на собственные подпространства

Нφ_к = Н_1+εк Н_1-εк , причем dimН_1+εк = dimН_1-εк = 1 (1.3)

Если φ_к ≠ φ_i, то ε_к ≠ ε_i (так как ε_к = =cosφ_к  и φ_к (0, )). Объединим все Нφ_к , у которых одинаковые φ_к , в одно слагаемое, и обозначим его через Нφ_к. При этом, если dimНφ_к = 2q_k, то есть Нφ_к состоит из q_k экземпляров двумерных подпространств, отвечающих одному φ_к , то объединяя вместе все соответствующие одномерные собственные подпространства, получим Нφ_к = Н_1+εк Н_1-εк , dimН_1+εк = dimН_1-εк = q_k.

Теорема 1.2. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р₁ и Р₂ тогда и только тогда, когда

(А) {0, 1, 2}({1+ε , 1-ε}), 0<ε_к<1,

причем dimН_1+εк = dimН_1-εк к = 1,…, m.

Доказательство. Пусть А = Р₁ и Р₂, тогда его спектр был найден выше:

(А) {0, 1, 2}({1+ε , 1-ε}), где 0<ε_к<1для любого к = 1,…, m.

Обратно, пусть нам известен спектр оператора А и известно, что размерности соответствующих собственных подпространств совпадают, то есть

dimН_1+εк = dimН_1-εк . Существует единственное разложение Н в ортогональную сумму инвариантных подпространств ((1.1.) Глава II):

Н = Н₍₀₎ Н₍₁₎ Н₍₂₎ ((С²Н_к)) (1.4.)

(1.4.) можно записать иначе

Н = Н₍₀₎ Н₍₁₎ Н₍₂₎ ((С²(Н_1+εк Н_1-εк ))) (1.5.)

Зададим ортопроекторы Р₁ и Р₂ следующим образом

P₁ = P_Н2((I_к )) (1.6.)

Р₂ = P_Н1P_Н2 ( I_к )) (1.7.)

где P_Нк – ортопроектор в Н на Н_(к) (к = 1, 2), I_s – единичный оператор в H_s s=1,…, m. Но тогда

Р₁ + Р₂ = P_Н1 P_Н2  ( I_к )) = А, при этом А = А*

1.6. Линейная комбинация ортопроекторов. Пусть теперь с. Из (1.2.) следует λ₁ + λ₂ = a + b. Пусть λ₂ = ε, тогда λ₁ = a + b – ε.

Оценим ε. Заметим, что (a +b)² – 4ab(1-τ) = (a - b)² + 4abτ > 0.

Тогда ε =  > = 0, то есть ε = 0.

Допустим, что ε ≥ a , тогда

a ≤

≤ b – a

(b - a)² +4abτ ≤ (b – a)²

abτ ≤ 0, но abτ > 0 и значит ε < a

Итак,

λ₁ = ε

λ₂ = a + b – ε. (1.8.)

Похожие работы

* Алгебры и их применение

Скачать

65703

0

0

... ;0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно. § 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве 2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 . Пусть А = Р1 - Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА = ...

Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике

Скачать

75806

4

238

... для того, чтобы показать школьникам образец современной математической теории. 2.2.3.2. ПРОГРАММА И СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЙ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА «ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ» В качестве экспериментальной работы мы предлагаем изучение элементов современной алгебры в рамках факультативного курса по математике. Нами была разработана программа факультативного курса «Элементы современной алгебры» и ...

Алгебра логики

Скачать

10756

9

3

... угодно сложные в логическом отношении схемы, можно строить, используя два приема: 1.  последовательное соединение элементов; 2.  перестановка входов элементов. Этим двум физическим приемам в алгебре логики соответствуют: 1.  принцип суперпозиции (подстановка в функцию вместо ее аргументов других функций); 2.  подстановка аргументов (изменение порядка записи аргументов функций или замена ...

Вопросы к гос. экзамену по дисциплине "Математика – Алгебра"

Скачать

66655

0

0

... 4. Бинарные отношения. Математика как наука отражает мир взаимодействующих простых и сложных объектов (вещей, явлений, процессов). Абстрагируясь от реальности, математика рассматривает унарные, бинарные и другие отношения. В вопросе требуется рассмотреть бинарные отношения, их свойства и особо обратить внимание на отношение эквивалентности, заданного на одном множестве. Рассмотрим ...