Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов

3.2. Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов.

Теорема 3.1. Пусть ,  - две последовательности гильбер-
товых пространств,  - последовательность операторов А_кL(Н_к, G_к). Определим тензорное произведение А₁ …А_n = А_к формулой

() f = () = (3.11.)

(f ).

Утверждается, что ряд в правой части (3.11.) сходится слабо в и определяет оператор  L (, ), причем

|| || = || || (3.12.)

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н₁,…, Н_n = (Н₁,…, Н_n-1)Н_n общий случай получается по индукции.

Пусть - некоторый ортонормированный базис в G_к (к = 1, 2) и пусть g =  G₁ G₂. В качестве f возьмем вектор из Н₁ Н₂ с конечным числом отличных от нуля координат f_α.

Зафиксируем α₂, β₁  Z₊ и обозначим через f(α₂) Н₁ вектор f(α₂) =  и через g(β₁)G₂ – вектор g(β₁) =. Получим

= =

= ≤ =

= ≤ =

=

Из этого неравенства следует слабая сходимость в G₁G₂ ряда  уже при произвольном c Н₁Н₂ и оценка его нормы в G₁G₂ сверху через ||A₁|| ||A₂|| ||f||. Таким образом, оператор A₁ A₂: Н₁ Н₂ →G₁G₂ определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не превосходит ||A₁|| ||A₂||.

Из (3.5.) и (3.11.) следует

||(A₁ A₂) (f₁ f₂)|| = ||A₁ f₁|| ||A₂ f₂|| (f_кН_к , к = 1, 2)

Подбирая должным образом орты f₁, f₂ последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A₁|| ||A₂||, поэтому неравенство ||(A₁ A₂)|| ≤ ||A₁|| ||A₂|| не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано.

Из (3.11.) получаем для А_кL(H_к, G_к), В_кL(H_к, G_к) (к = 1,…, n) соотношения

(В_к) (А_к) = (В_к А_к) (3.13.)

(А_к)* = А_к* (3.14)

(А_к) (f₁ … f_n) = A₁ f₁… A_n f_n (3.15.)

(f_кH_к; к = 1,…, n)

(3.15) однозначно определяет оператор А_к.

Приведем пример. Пусть H_к = L²((0,1), d (m_к)) = L²

Действительно, вектору вида (3.1.)    поставим в соответствие функцию  L². Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L², поэтому такое соответствие порождает требуемый изоморфизм между и L².

Глава II. Задача о двух ортопроекторах

§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве

1.1.     Постановка задачи. Пусть дана *-алгебра P₂

P₂  = С < р₁, р₂| р₁²= р₁* = р₁, р₂² =р₂* = р₂ >

порожденная двумя проекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами.

Положим u = 2p₁ – 1, v = 2p₂ – 1, тогда u, v самосопряженные элементы.

u² = (2p₁ – 1)² = 4p₁ – 4p₁ + 1 = 1, v² = 1. Таким образом u, v – унитарные самосопряженные элементы.

Тогда *-алгебру P₂  можно задать иначе:

P₂ = С < p₁*= p₁, p₂*=p₂ | p₁² = p₁, p₂² = p₂ > = C <u* = u, v* = v | u² = 1, v² =1 >

Это групповая *-алгебра, порожденная двумя унитарными самосопряженными элементами.

Требуется найти все неприводимые представления *-алгебры P₂ , с точностью до унитарной эквивалентности.

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P₂ . Пусть π: P₂ →L(H) - *-представление *-алгебры P₂ . Рассмотрим сначала случай, когда dim H = 1, то есть dim π = 1.

P₂ = С < р₁, р₂| р₁²= р₁* = р₁, р₂² =р₂* = р₂ >

Обозначим через Р_к = π(р_к), к = 1,2. Поскольку р_к²= р_к* = р_к (к = 1, 2) и π - *-представление, то Р_к² = Р_к* = Р_к (к =1, 2) – ортопроекторы в Н на подпространстве Н_к = {yH | Р_к y = y } к = 1, 2.

Возможны следующие случаи:

1.   Н₁ = Н₂ = {0}; тогда Р₁ = 0, Р₂ = 0.

2.   Н₁= Н (то есть dim H₁ =1), Н₂ = {0}, тогда Р₁ = 1, Р₂ = 0.

3.   Н₁ = {0}, Н₂ = Н (то есть dim H₂ =1), тогда Р₁ = 0, Р₂ = 1.

4.   Н₁ = Н₂ = Н (dim H₁ = dim H₂=1), тогда Р₁ = 1, Р₂ = 1.

Так как dim H =1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P₂, причем они неэквивалентны.

1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P_{2 .}  Обозначим через Н_к область значений оператора Р_к при к = 1,2. Пусть Н_к^┴ - ортогональное дополнение подпространства Н_к (к = 1,2) в Н. Тогда Н=H₁Н₁^┴ , Н=H₂Н₂^┴  

Введем дополнительные обозначения :

Н_0,0= Н₁^┴ ∩Н₂^┴, Н_0,1= Н₁^┴ ∩Н₂, Н_1,0= Н₁ ∩Н₂^┴, Н_1,1= Н₁ ∩Н₂. (1.1.)

Пусть dim H = 2. предположим, что существуют i и j такие, что H_ij нетривиально, то есть dim H_ij =1. Пусть, например, dim Н_1,0= 1 (остальные случаи аналогичны). Тогда в H существует ненулевой вектор h такой, что Н_1,0= л.о. {h}, но тогда P₁h = h, P₂h = 0; следовательно Н_1,0инвариантное подпространство. Значит в этом случае *-представление π не может быть неприводимым.

Будем считать, что H_ij ={0} для любых i = 0, 1 и j =0, 1, (то есть H_ij линейно независимы) и dim H₁ = dim H₂=1. Тогда в Н можно найти два ортогональных базиса {e₁, e₂} и {g₁, g₂}, в которых матрицы операторов Р₁ и Р₂ имеют вид . Найдем матрицу оператора Р₂ в базисе {e₁, e₂}.

Пусть g₁ = a₁₁e₁ + a₁₂ e₂

g₂ = a₂₁e₁ + a₂₂e₂

e₁ = b₁₁g₁ + b₁₂g₂

e₂ = b₂₁g₁ + b₂₂g₂

Рассмотрим векторы h₁ = e^ite₁ и h₂ = e^ile₂, тогда

|| h₁ || = || e^ite₁ || = || e₁ || = 1, || h₂ || = || e^ile₂ || = || e₂ || = 1

(h₁ ,h₂ ) = (e^ite₁ , e^ile₂) = e^i(t-l)(e₁, e₂ ) = 0, то есть {h₁ ,h₂} – ортонормированный базис.

Р₁h₁ =e^it Р₁  e₁ = h₁, Р₁h₂ =e^ilР₁  e₂ = 0.

Значит в базисе {h₁ ,h₂} матрица оператора Р₁ также имеет вид . Тогда можно считать, что a₁₁, a₁₂ > 0 (так как, например, a₁₁ e₁=|a₁₁| e^ite₁ =|a₁₁| h₁)

(e₁, e₂ ) = 0, значит a₁₁ a₂₁ = a₁₂ a₂₂ = 0 или , тогда существует такое комплексное число r, что

a₂₂ = - ra₁₁

a₂₁ = ra₁₂

Базис (e₁, e₂ ) ортонормированный; следовательно

a₁₁² + a₁₂² = 1

|a₂₂ |² + |a₂₁ |² = 0

тогда | r | = 1.

Р₂ e₁ = Р₂ ( b₁₁g₁ + b₁₂g₂) = b₁₁g₁ = b₁₁a₁₁e₁ + b₁₁a₁₂e₂,

Р₂ e₂ = Р₂ ( b₂₁g₁ + b₂₂g₂) = b₂₁g₁ = b₂₁a₁₁e₁ + b₂₁a₁₂e₂.

Найдем b₁₁ и b₂₁:

e₁ = b₁₁g₁ + b₁₂g₂ = b₁₁ (a₁₁e₁ + a₁₂ e₂) + b₁₂ (a₂₁e₁ + a₂₂e₂) = (b₁₁a₁₁ + b₁₂a₁₂)e₁ + (b₁₁a₁₂ + b₁₂a₂₂)e₂,

b₁₁a₁₁ + b₁₂a₁₂ = 1

b₁₁a₁₂ + b₁₂a₂₂ = 0 или

b₁₁a₁₁ + b₁₂a₁₂ r = 1

b₁₁a₁₂ - b₁₂a₁₁ r = 0,

Тогда b₁₁ = a₁₁.

Аналогично

E₂ = b₂₁g₁ + b₂₂g₂ = (b₂₁a₁₁ + b₂₂a₂₁)e₁ + (b₂₁a₁₂ + b₂₂a₂₂)e₂,

b₂₁a₁₁ + b₂₂a₂₁= 0

b₂₁a₁₂ + b₂₂a₂₂ = 1,

отсюда находим, что b₂₁ = a₁₂.

Тогда матрица оператора Р₂ в базисе {e₁, e₂ } будет иметь вид (обозначим ее также через Р₂)

Р₂ = , где a₁₁>0, a₁₂>0 и a₁₁² + a₁₂² =1

А) Пусть a₁₁² = τ, тогда a₁₂² =1 – τ, a₁₁a₁₂ = . Так как a₁₁a₁₂ >0, то τ(0, 1).

Тогда Р₂ = .

В) Положим a₁₁ = cosφ,тогда a₁₂ = sinφ и Р₂ запишется следующим образом

Р₂ = .

Найдем коммутант π(P₂). Пусть Т =  оператор перестановочный с Р₁ и Р₂, тогда

ТР₁ =  =

Р₁Т =  =

Следовательно b = c = 0.

ТР₂ =  =

Р₂Т =  =

Следовательно a = d. Тогда Т скалярный оператор и по лемме Шура (теорема 2.6. глава I) представление π неприводимо.

Покажем, что все эти представления неэквивалентны.

Пусть τ, ν(0, 1), τ ≠ ν. Предположим, что существует унитарный оператор в Н, устанавливающий эквивалентность. Тогда

UР₁ = Р₁U, следовательно U= , a, b C

UР₂ (τ) =  =

Р₂ (ν) U =  = .

Тогда τ = ν, следовательно U = 0 и представления неэквивалентны.

Теорема 1.1. Пусть π: P₂ →L(H) - *-представление *-алгебры P₂ .

Тогда:

(i) Все одномерные и неэквивалентные представления имеют вид: π_0,0(p₁) = 0; π_0,0(p₂) = 0; π_1,0(p₁) = 1; π_1,0(p₂) = 0; π_0,1(p₁) = 0; π_0,1(p₂) = 1; π_1,1(p₁) = 1; π_1,1(p₂) = 1;

(ii) Все двумерные неприводимые и неэквивалентные представления имеют вид: π(p₁)  , π(p₂)  τ (0, 1).

Доказательство следует из сказанного выше и в пункте (ii) можно положить π(p₂) =  φ (0, ).

1.4. n – мерные *-представления *-алгебры P₂ . Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н. Если dimН=2n+1, где n>1 натуральное, то выполняется неравенство

max (dimН₁, dimН₁^┴) + max (dimН₂, dimН₂^┴) > 2n+1 (1.4.)

Тогда обязательно найдутся такие i = 0,1 и j= 0,1, что Н_i,j≠ {0}, следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространство относительно *-представления π, но тогда π приводимо.

Пусть теперь dimН=2n, n>1 натуральное. Будем считать, что dimН₁ = n, dimН₂ = n и Н_i,j= {0} для любых i = 0,1 и j= 0,1, то есть Н_i,j линейно независимы. Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представление π окажется приводимым. При этих условиях справедлива лемма.

Лемма 1.1. Существует х ≠ 0, хН₁ такой, что Р₁Р₂х = λх, где λС.

Доказательство. Пусть ,  ортонормированный базисы в Н, в которых матрицы операторов Р₁ и Р₂ имеют вид , где I – единичная матрица порядка n. Пусть базисы (е) и (g) связаны уравнениями

к = 1,…, n к = 1,…, n

Так как хН₁, то , g_kC, к = 1,…, n. Тогда

Р₁Р₂х = Р₁Р₂= Р₁Р₂= Р₁=

= Р₁= = () =

Таким образом получаем систему линейных однородных уравнений относительно q₁,…, q_n:

=

j = 1,…, n

Подбирая λC так, чтобы определитель этой системы обратился в нуль, получим ненулевое решение q₁,…, q_n. Это доказывает лемму.

Лемма 1.2. Пусть элемент х удовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L=л.о. {х, Р₂х} – инвариантное подпространство в Н относительно Р₁ и Р₂.

Доказательство. Проверим инвариантность L. Для любых a, b С имеем

Р₁ (aх + bР₂х) = aх + λbх = (a + λb) х L,

Р₂ (aх + bР₂х) = aР₂х + bР₂х = (a + b) Р₂ х L

dimL = 2, так как Н_i,j= {0} (для всех i, j= 0,1).

Действительно, если aх + bР₂х = 0, где, например, а ≠ 0, то х =  Р₂х, значит = 0 или 1 и х Н_1,1; тогда Н_1,1≠{0}.

Итак, получаем предложение.

Теорема 1.2. Если dimН = n, n>2, то нет неприводимых *-пред-
ставлений *-алгебры P₂ . Все неприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны.

1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n. В этом пункте мы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного *-представления π *-алгебры P₂, а также разложение пространства Н на инвариантные подпространства относительно π.

Теорема 3.1. (спектральная теорема). Существует единственное разложе-
ние Н в ортогональную сумму инвариантных относительно Р₁ и Р₂ подпространств

Н = Н_0,0Н_0,1Н_1,0Н_1,1  ((С²Н_к)), (1.1.)

где каждому подпространству Н_к соответствует одно φ_к (0, ), φ_к ≠ φ_i при к≠i, dimН_к = n_к (к = 1,…, m). Пусть Р_i,j: Н → Н_i,j, Рφ_к: Н → С²Н_к – ортопроекторы к = 1,…, m. Тогда существуют единственные разложения операторов

I = P_0,0 P_0,1 P_1,0 P_1,1(Рφ_к), (1.2.)

P₁ = P_1,0P_1,1((I_к )) (1.3)

Р₂ = P_0,1 P_1,1  (I_к ))  (1.4)

где I_к – единичный оператор на Н_к (к = 1,…, m).

Доказательство. Пусть dimН_i,j = n_i,j. Сразу можем записать разложение

Н = Н_0,0 Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1  Н΄, где dimН΄ четное число. Используя лемму 1.2. и теорему 2.1. главы I можем написать разложение Н΄ в ортого-
нальную сумму инвариантных двумерных подпространств, определяемых параметром φ_к (0, ):

Н΄ = Нφ_к, (l = n - )

Собирая вместе все Нφ_к, у которых одно φ_к, получим изоморфизм

Нφ_к…Нφ_к ≈ С²Н_к , где Нφ_к n_к экземпляров, dim(Нφ_к…Нφ_к )=2n_к dim(С²Н_к) = dimС² dimН_к = 2n_к . Следовательно, получаем разложение (1.1.)

Н = Н_0,0 Н_0,1 Н_1,0 Н_1,1  ((С²Н_к))

Пусть π_i,j – сужение π на Н_i,j ( i, j= 0,1), π_к – сужение π на Нφ_к (к = 1,…, m), то есть π_i,j и π_к - *-подпредставления.

Учитывая кратности подпредставлений получаем

π = n_0,0π_0,0n_0,1π_0,1n_1,0π_1,0n_1,1π_1,1(n_кπ_к)  (1.5.)

В силу теоремы 2.8. главы I разложения (1.1.) и (1.5.) единственные.

Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I (1.2.)

I = P_0,0 P_0,1 P_1,0 P_1,1  (Рφ_к)

Тогда ортопроекторы Р₁ и Р₂ примут вид

P₁ = P_1,0 P_1,1  ((I_к ))

Р₂ = P_0,1 P_1,1  ( I_к ))

Причем n_1,0π_1,0(р₁) = P_1,0 , n_0,1π_0,1(p₂) = P_0,1 , n_1,1π_1,1(р₁) = P_1,1 , n_0,0π_0,0(p₂) = P_0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р₁ и Р₂ также определяются однозначно.

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P₂ . Пусть А = Р₁ - Р₁^┴ = 2Р₁ – I и В = Р₂ – Р₂^┴ = 2Р₂ – I. Тогда А² = I , В² = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U^-1=ВА и А^-1UА = АUА = А²ВА = ВА = U^-1, следовательно

UА = АU^-1 или АU = U^-1А (2.1.)

Лемма 2.1. Операторы А и В неприводимы тогда и только тогда, когда операторы А и U неприводимы.

Доказательство. Допустим, что А и В неприводимы. Пусть существует нетривиальное инвариантное подпространство L относительно операторов А и U. Тогда UL = АВLL, но тогда ВLАLL, то есть пара А, В – приводима.

Обратно, пусть А и U неприводимы. Если операторы А и В приводимы, то есть LН: АLL и ВLL, то из включения АВLАLL следует приводимость А и U, что невозможно.

Лемма 2.2. Ортопроекторы Р₁ и Р₂ неприводимы тогда и только тогда, когда А и В неприводимы.

Доказательство. Пусть Р₁ и Р₂ приводимые операторы, когда существует нетривиальное инвариантное подпространство LН такое, что Р₁LL, Р₂LL. Рассмотрим АL = (2Р₁ – I)LL, ВL = (2Р₂ – I)LL, то есть А и В приводимы.

Обратно, пусть А и В приводимые операторы, тогда Р₁ и Р₂ также будут приводимы, так как Р₁L = LL, Р₂L = LL, для любого инвариантного относительно А и В подпространства L в Н.

Лемма 2.3. Если e^iφ(U), то e^-iφ(U).

Доказательство.

1) Если e^iφ принадлежит точечному спектру оператора U, то существует fН: ||f|| = 1 и Uf = e^iφ f. Тогда по (2.1.) UАf = АU^-1f = e^iφАf, следовательно, Аf собственный вектор оператора U, то есть e^-iφ принадлежит спектру U.

2) Если e^iφ(U), то существует последовательность единичных векторов в Н || f_n || = 1 такая, что

||Uf_n - e^iφf_n || = || UАf_n - e^iφ A f_n || = || U^-1Аf_n - e^iφ A f_n || → 0 при n → ∞ (|| Аf_n || =1)

Тогда e^iφ(U^-1), следовательно e^-iφ(U).

Теорема 2.1. Неприводимые пары А и В самосопряженных операторов лишь одномерны и двумерны.

Доказательство. Рассмотрим соотношения

А (U + U^-1) = АU + АU^-1 = (U^-1 +U)А

А (U - U^-1) = А (U² – 2I + U^-2) = (U² – 2I + U^-2)А = (U - U^-1)²А

Таким образом А (U + U^-1) = (U^-1 +U)А (2.2.)

А (U - U^-1) = (U - U^-1)²А (2.3.)

Пара А и U неприводима (лемма 2.1.), тогда по теореме 2.6. главы I имеем

U + U^-1 = cI

(U - U^-1)² = d²I

где c, d С. По теореме преобразования спектров e^iφ+ e^-iφ = c, e^iφ- e^-iφ = ±d.

1)         Если d = 0, то (U) состоит из одной точки e^iφ, где φ=0 или φ=π, и U = I или U = -I. Так как А, U неприводимая пара, то dimН=1 и А = +I или А = -I. Поскольку существует одномерное инвариантное подпространство y оператора А: л.о. {(A+I)x}, хH.

2)         Если d ≠ 0, то (U) дискретен и состоит из двух точек e^iφ= и e^-iφ= φ(0, π)

Собственное подпространство оператора U, отвечающее собственному значению e^iφ (или e^-iφ), Н_eiφ = {fH | Uf = e^iφf} одномерно. Действительно, подпространство, натянутое на собственные векторы f и Af для оператора U: Uf = e^iφf, U(Аf) = e^iφ Аf инвариантно относительно операторов U и А. U и А неприводимы, значит dimН_eiφ= dimН_-eiφ=1

Таким образом, все неприводимые пары операторов U и А такие, что (U) = {e^iφ, e^-iφ} φ(0, π) в базисе из собственных векторов оператора U имеют вид:

А = , U = , В =

Теорема 2.2. Неприводимые пары Р₁, Р₂  ортопроекторов лишь одномер-
ны и двумерны.

Доказательство. Сразу следует из леммы 2.2.