< ε < a

0 < ε < a

Пусть dimH =n. Тогда справедлива теорема.

Теорема 1.3. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации ортопроекоров А = aР₁ + bР₂, 0<a<b тогда и только тогда, когда

(А) {0, a, b, a + b}({ε_к, a + b - ε_к}), 0<ε_к<1, и

dimН_εк = dimН_a+b-εк (Н_εк , Н_a+b-εк - собственные подпространства оператора А, отвечающие ε_к) к=1,…m.

Доказательство. Пусть А = aР₁ + bР₂, 0<a<b. Найдем (А).

1) х Н_0,0, то Ах = 0 и 0(А);

2) х Н_0,1, то Ах = bx и b(А);

3) х Н_1,0, то Ах = ax и a(А);

4) х Н_1,1, то Ах = (a+b)x и a+b(А).

Тогда (А) {0, a, b, a + b}({ε_к , a + b - ε_к}), где 0<ε_к<1, к=1,…m. Причем числа ε_к, a + b - ε_к входят одновременно в спектр А, и соответству-
ющие собственные подпространства ортогональны и одномерны, так как А=А*. Тогда сумма всех собственных подпространств, отвечающих одному ε_к также инвариантна относительно А и dimН_εк = dimН_a+b-εк = q_k. (с учетом кратности ε_к)

Обратно. Существует единственное разложение Н в силу (1.4.)

Н = Н₍₀₎ Н_(a) Н_(b)Н_(a+b) ((С²Н_к)) (1.9.)

Где Н₍₀₎=Н_0,0, Н_(a) =Н_1,0, Н_(b)=Н_0,1, Н_(a+b)=Н_1,1 или

Н = Н₍₀₎ Н_(a) Н_(b)Н_(a+b) ((Н_εк Н_a+b-εк) (1.10.)

Положим

P₁ = P_aP_a+b ((I_к )) (1.11.)

Р₂ = P_b P_a+b  ( I_к )) (1.12.)

Но тогда

aР₁ + bР₂ = aP_abP_b  (а+b)P_a+b  (a(I_к ))

(bI_к )) = A.

Спектр оператора А совпадает с {0, a, b, a + b}({ε_к , a + b - ε_к}), (0<ε_к<1, к=1,…m) по построению и А = А* как вещественная комбинация ортопроекторов.

§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Спектр оператора А = Р₁ + Р₂. Изучим оператор Р₁ + Р₂ в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Теорема 2.1. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р₁ + Р₂ тогда и только тогда, когда (А) = [0, 2] и пространство Н можно разложить в ортогональную сумму инвариантных относительно А пространств

Н = Н₀ Н₁ Н₂ ((С²L₂((0, ), dρ_к))) (2.1.)

и меры ρ_к инвариантны относительно преобразования 1+х → 1-х.

Доказательство. Пусть А = Р₁ + Р₂. Н₀=Н_0,0, Н₁=Н_1,0Н_0,1, Н₂=Н_1,1 

Поставим в соответствие φ→ε cosφ, где φ (0, ). Тогда, как было найдено выше, спектр (А)  [0, 2] и Н можно разложить (опираясь на спектральную теореме 2.3. главы II) в ортогональную сумму (2.1.)

Н = Н₀ Н₁ Н₂ ((С²L₂((0, 2), dρ_к)))

Поскольку собственные подпространства, соответствующие собственным значениям А 1+ε , 1-ε, 0<ε<1 входят одновременно в спектр и их значения совпадают, то каждая мера ρ_к (к = 1, 2, …) должна быть инвариантной относительно преобразования 1 + х → 1- х.

Обратно. Пусть имеет место (2.1.) и (А)  [0, 2]. Тогда зададим ортопроекторы Р₁΄ Р₂΄ равенствами

Р₁΄ = P₁P₂((I_к ))

Р₂΄ = P₂  ( I_к ))

где P_i: Н→Н_i (i = 0, 1, 2) ортопроектор, I_k – единичный оператор в L₂((0, 2), dρ_к)). Тогда А =Р₁΄ + Р₂΄ - самосопряженный оператор, спектр которого содержится в [0, 2], так как Р_к΄ (к = 1, 2) является суммой ортопроекторов на взаимно ортогональные пространства.

2.2. Спектр линейной комбинации А = aР₁ + bР₂ (0<a<b). Рассмотрим теперь случай, когда А = aР₁ + bР₂ (0<a<b).

Теорема 2.2. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации двух ортопроекторов А = aР₁ + bР₂, 0<a<b тогда и только тогда, когда (А)  [0, a] [b, a+b] и Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных относительно А пространств

Н = Н₀ Н_a Н_bН_a+b ((С²L₂([0, a] [b, a+b], dρ_к)))) (2.2.)

и меры ρ_к инвариантны относительно преобразования х→a+b.

Доказательство. Пусть А = aР₁ + bР₂ (0<a<b). Пусть Н₀=Н_0,0, Н_а=Н_0,1, Н_b=Н_1,0, Н_a+b=Н_1,1. Так как (А)  [0, a] [b, a+b] и собственные подпространства, отвечающие собственным значениям оператора А входят в Н одновременно (причем их размерности совпадают) то аналогично теореме 2.1. получаем

Н = Н₀ Н_a Н_bН_a+b ((С²L₂([0, a] [b, a+b], dρ_к))))

где меры ρ_к (к = 1, 2, …) инвариантны относительно преобразования х → a+b-х.

Обратно, пусть (А)  [0, a] [b, a+b] и имеется разложение Н (2.2.). Тогда зададим Р₁ и Р₂ следующим образом

P₁ = P_aP_a+b ((I_к ))

Р₂ = P_b P_a+b ( I_к ))

где Р_α: Н→Н_α , α = a, b, a+b – ортопроекторы, I_к – единичный оператор в L₂([0,a] [b, a+b]). Тогда

А = aР₁ + bР₂ = aР₁ bР₂(a+b)P_a+b ((I_к ))

 ( I_к ))

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дипломной работе изучена пара ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, приведено описание всех неприводимых и неэквивалентные *-представления *-алгебры P₂ .

P₂ = С <p₁, p₂ | p_к² = p_к* =p_к>.

А именно: 4 одномерных π_0,0(p₁) = 0, π_0,0(p₂) = 0; π_0,1(p₁) = 0, π_0,1(p₂) = 1; π_1,0(p₁) = 1, π_1,0(p₂) = 0; π_1,1(p₁) = 1, π_1,1(p₂) = 1.

И двумерные:  , τ (0, 1)

Изучен спектр операторов Р₁ + Р₂, aР₁ + bР₂ (0<a<b), а также необходимые и достаточные условия представимости самосопряженного оператора А в виде А = Р₁ + Р₂  и А = aР₁ + bР₂ (0<a<b).

ЛИТЕРАТУРА

1.          Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М., Наука, 1966.

2.          Березенский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ, К., Выща школа, 1990.

3.          Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: С*- W* -алгебры. Группы симметрий. Разложение состояний., М., Мир, 1982.

4.          Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М., Наука, 1974.

5.          Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М., Наука, 1978.

6.          Кужель А.В. Алгебры конечного ранга, С. СГУ, 1979.

7.          Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.

8.          Мерфи Д. С*-алгебры и теория операторов. М., Мир, 1998.

9.          Наймарк М.А. Нормированные кольца. М., Гостехиздат, 1956.

10.       Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975.

11.       NishioK, Linear algebra and its applications 66: 169-176, Elsevier Science Publishing Co., Inc., 1985.

12.       Samoilenko Y.S., Representation theory of algebras, Springer, 1998.

Похожие работы

* Алгебры и их применение

Скачать

65703

0

0

... ;0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно. § 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве 2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 . Пусть А = Р1 - Р1┴ = 2Р1 – I и В = Р2 – Р2┴ = 2Р2 – I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА = ...

Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике

Скачать

75806

4

238

... для того, чтобы показать школьникам образец современной математической теории. 2.2.3.2. ПРОГРАММА И СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЙ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА «ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ» В качестве экспериментальной работы мы предлагаем изучение элементов современной алгебры в рамках факультативного курса по математике. Нами была разработана программа факультативного курса «Элементы современной алгебры» и ...

Алгебра логики

Скачать

10756

9

3

... угодно сложные в логическом отношении схемы, можно строить, используя два приема: 1.  последовательное соединение элементов; 2.  перестановка входов элементов. Этим двум физическим приемам в алгебре логики соответствуют: 1.  принцип суперпозиции (подстановка в функцию вместо ее аргументов других функций); 2.  подстановка аргументов (изменение порядка записи аргументов функций или замена ...

Вопросы к гос. экзамену по дисциплине "Математика – Алгебра"

Скачать

66655

0

0

... 4. Бинарные отношения. Математика как наука отражает мир взаимодействующих простых и сложных объектов (вещей, явлений, процессов). Абстрагируясь от реальности, математика рассматривает унарные, бинарные и другие отношения. В вопросе требуется рассмотреть бинарные отношения, их свойства и особо обратить внимание на отношение эквивалентности, заданного на одном множестве. Рассмотрим ...