Навигация
Существование решении возмущенной задачи
31319
знаков
15
таблиц
25
изображений
2.3 Существование решении возмущенной задачи
Результаты, полученные обладают той особенностью, что справедливость асимптотического представления гарантируется на некотором сегменте [0,T], определяемом свойствами правой части (2.3.1), одновременно с существованием и единственностью как невозмущенного, так и возмущенного уравнений.
Можно ставить вопрос иначе. Допустим, что решение невозмущенной задачи (2.3.2) существует, единственно и принадлежит некоторой области G пространства переменных y(t,μ) при, 0≤t≤T. Величину T в данном случае можно, например, установить непосредственно из явного вида y(t). Будет ли при достаточно малых μ решение задачи (2.3.1) также существовать на всем [0,T] и подчиниться формуле (1.3)? Ответ на этот вопрос дает следующая
Теорема 1.2. Пусть в области
непрерывны и равномерно ограничены:
Пусть решение y(t) задачи (2.3.2) существует, единственно на [0,T] и принадлежит 
. Тогда при каждом достаточно малом μ решение y(t,μ) задачи (2.3.1) также существует, единственно на [0,T] принадлежит G, и имеет место равномерный относительно 
предельный переход
(2.3.8)
Доказательство. Перейдем в (2.3.1) к новой неизвестной функции 
. Имеем
Перейдем к эквивалентному интегральному уравнению
(2.3.9)
где 
причем 
. Здесь и в
дальнейшем бесконечно малые при μ →0 величины будем обозначать
ω(μ), ω1(μ) и т. д. Применим к уравнению (2.3.9) метод последовательных приближений и докажем, что ▲(t,μ) существует на сегменте [0,Т] и 
.Это очевидно, равносильно утверждению теоремы 1.2.
Построим последовательные приближения обычным образом
Предварительно заметим, что так как y=y(t) принадлежит G для 
кривая 
, где 
при достаточно малом μ. также принадлежит G для
Положим 
Тогда
(2.3.10)
|
В равномерной сходимости последовательности (k)▲ к решению ▲(t,μ) уравнения (2.3.9) можно убедиться совершенно, может в пределе при k→∞ появиться равенство. Поэтому 
, что равносильно (2.3.8).
Замечание. Теорема доказана для скалярного случая, но аналогичное утверждение справедливо и для случая, когда y — вектор.
2.3.2 Теорема 2.3.2 остается справедливой, если имеет место возмущение не только в уравнении, во и в начальных условиях, т. е. имеет вид
Литература
1. Понтрягин Л.С. Асимптотическое поведение решений системы дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных, Известия Ак. паук СССР, серия метем, 21(1957), 605—626.
2. Мищенко Е.Ф., Понтрягии Л.С. Периодические решения систем дифференциальных уравнении, близкие к разрывным, Доклады Ак. наук СССР, 102, № 5 (1955), 889-891.
3. Мищенко Е.Ф., Асимптотическое вычисление периодических решении систем дифференциальных уравнении, содержащих малые параметры при производные. Известия Ак. наук СССР, серия матем., 21 (1957), 627—654.
4. Мищенко Е., Понтрягии Л.С. Вывод некоторых асимптотических оценок для решений дифференциальных уравнений с малым параметром пр" производных, Известия Ак. наук СССР, серия матем., 23(1959), 643—660.
5. Тихонов А. И-, Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных, Матем. еборн., 31(73): 3 (1952), 574—586.
6. Боголюбов Н.И., Митропольский Ю.А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, Москва, 1955.
7. Митропольскнй Ю.А., Нестационарные процессы в нелинейных колебательных системах, Изд. АН УССР, 1955.
Похожие работы
... . Ван-дер-Поль показал, что для этой цели можно использовать малые нелинейности, однако даже при малых нелинейностях получившаяся задача не допускала интегрирования колебаний в квадратурах. Ван-дер-Поль разработал приближенный асимптотический метод интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка подобного рода. 1.1. Метод усреднения Ван-дер-Поля. В своих исследованиях Ван-дер-Поль ...
... Подробное описание различных свойств решений уравнения в связи с их многочисленными приложениями содержится в учебном пособии [8]. Заключение Исследование аналитических свойств решений системы двух нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка, порождаемой прямым и обратным преобразованиями Беклунда высшего аналога второго уравнения Пенлеве позволило доказать существование у неё ...
... мере, синергетическим стилем мышления может быть некой платформой для открытого творческого диалога между учеными, мыслителями, деятелями искусства, имеющими различные творческие установки и взгляды на мир. 2. Некоторые парадоксальные следствия синергетики Множество новых парадоксальных идей, образов и представлений возникает в синергетике. Кроме того, с точки зрения синергетики может быть ...
... , момента электромагнитного импульса. Таким образом, имеем серьезную, необходимо требующую разрешения проблему, в которой надо должным образом проанализировать известные либо вскрыть новые реалии в физическом содержании уравнений Максвелла, в частности, понять роль и место векторных потенциалов в явлениях электромагнетизма. Покажем, как это можно сделать! Поставленная задача и проведенный в этом ...
0 комментариев