Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений с малым параметром

1. Асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений с малым параметром

Многие колебательные системы описываются дифференциальными уравнениями с малым параметром при производных:

или, в векторной форме

где  — малый положительный параметр, — неизвестные функции времени t, характеризующие данную систему.

В работах (^х) — (⁵) находится асимптотика решений системы (1.1) в случае, когда при каждом z любое решение системы «быстрых движений» **

при приближается либо к устойчивому положению равновесия, либо к устойчивому предельному циклу.

Но возможны случаи, когда система «быстрых движений» (1.2) может не иметь асимптотически устойчивых положений равновесия и изолированных предельных циклов. Такова, например, гамильтонова система. Целью настоящей работы и является изучение этих случаев. Так, в § 2 с точностью до величин порядка О (г) находится решение системы (1.1), для которой соответствующая система «быстрых движений» гамильтонова и к = 2, т. е. находится решение системы

Асимптотические формулы для решения этой системы находятся для области, где траектории соответствующей гамильтоновой системы «быстрых движений» при каждом векторе z замкнуты (в случае невырожденного центра в рассматриваемую область включается и сам центр). Метод исследования системы (1.3) таков: сначала рассматривается система «быстрых движений» (1.4), а затем система (1.3) после соответствующей замены переменных усредняется вдоль решений (1.4). Оказывается, что уравнение с малым параметром и. при старшей производной и с пропущенной в основном члене Q (п — 1)-й производной, исследованное В.М. Волосовым (при п — 2 — в работе (^12Г), при F ~ О — в 'работах (⁸) — (^п)) методом конечных разностей, является частным случаем системы (1.3). Поэтому результаты работ (⁸) — (¹²) (эти результаты сформулированы в § 3 настоящей работы) следуют из результатов § 2.

Метод построения решения уравнения (1.5) при п = 2 с любой наперед заданной точностью в случае, когда известно общее решение (в форме разложения в тригонометрический ряд Фурье) соответствующего невозмущенного уравнения был дан в работе Ю.А. Митрополъским.

Задача исследования системы (1.3) с точки зрения работ (³) — (⁴) и вывода из нее известных результатов В.М. Волосова [работы (⁸) — (¹²)] относительно уравнения (1.5) была поставлена Л.С. Понтрягиным в его докладе на семинаре В.И. Смирнова в Ленинграде в середине апреля 1957 г.

Выражаю глубокую благодарность Л.С. Понтрягину за ценные указания, советы и постоянное внимание к настоящей работе.

1.1 Асимптотическое поведение решений системы

 

Система (1.3) в векторной форме имеет вид:

глк, в быстром времени

При е = 0 система (2.1') переходит в гамильтонову систему

являющуюся системой «быстрых движений» для системы (2.1). 1. Изучение системы (2.2). Пусть функции

определены и непрерывны вместе со всеми своими первыми частными производными в некоторой области G эвклидова пространства E₂+i переменных х, у, zi,..., zi. Как известно, система (2.2) имеет первый интеграл

и (2.3) представляет собой семейство всех фазовых траекторий системы(2.2) на кажтгой плоскости z = const области G.

Возьмем некоторую точку (х, у, z) из G, не являющуюся положением равновесия системы (2.2). По известной теореме существования и единственности решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений, через эту точку пройдет только одна фазовая траектория системы

(2.2). Уравнение этой траектории запишется в виде:

(см. (2.3)).

Докажем следующее утверждение.

Пусть траектория (2.4) замкнута и целиком лежит внутри области G. Тогда в пространстве E₂+i существует некоторая окрестность G этой траектории (2.4) такая, что

1) фазовые траектории системы (2.2), проходящие через точки G, замкнуты и целиком лежат в G;

2) уравнение (2.3) при каждой паре (/г, z) определяет одну и только одну фазовую траекторию системы (2.2), расположенную в G;

3) на каждой фазовой траектории (2.3) системы (2.2), лежащей в G, можно выбрать по одной точке , гладко зависящей от

В самом деле, в силу известных свойств гамильтоновой системы, в пространстве E₂+i существует некоторая окрестность G траектории (2.4) (Gd G), в которой выполняется условие 1). Выделим из G ту окрестность траектории (2.4), в которой выполняются и условия 2), 3). Для этого возьмем поверхность, пересекающую каждую плоскость z = const области G

о о по нормали в точке (х, у, z) к фазовой траектории системы (2.2), проходящей через эту точку. Уравнение этой поверхности имеет вид:

Следовательно, точка (х, у, z, h) эвклидова пространства £"₂+z переменных х, у, z, h удовлетворяет системе

Левые части системы (2.5) определены и непрерывны вместе со всеми своими частными производными в области Г: (#, у, z) £ G, —ос <^ /г<^оо. Якобиан системы (2.5)

отличен от нуля в точке (х, у, z, /г), так как точка (х,?/, z) не является положением равновесия системы (2.2). Поэтому, по теореме о неявных функциях, в некоторой окрестности Г° точки (х, у, z, h) (Г°С Г) система (2.5) разрешима относительно х и у:

причем

являются однозначными функциями от /г, zi,..., z_x, непрерывными по совокупности этих переменных вместе со всеми своими первыми частными производными. Следовательно, целые фазовые траектории системы (2.2), проходящие через точки

составляют искомую окрестность G траектории (2.4). Пусть

— решение системы (2.2) с начальными условиями

Решение (2.6) системы (2.2) является периодическим, поскольку описывает замкнутую траекторию (2.3). Тогда, полагая получим: