Метод скалярних добутків для знаходження першого власного значення дійсної матриці

2.5      Метод скалярних добутків для знаходження першого власного значення дійсної матриці

Для відшукання першого власного значення  дійсної матриці А можна вказати дещо інший ітераційний процес, що є іноді вигіднішим. Метод [1] заснований на утворенні скалярних добутків

 і

 де А' — матриця, транспонована з матрицею А, і у₀ — вибраний яким-небудь чином початковий вектор.

Переходимо тепер до викладу самого методу.

Нехай А — дійсна матриця і — її власні значення, які передбачаються різними, причому

Візьмемо деякий ненульовий вектор у₀ і за допомогою матриці А побудуємо послідовність ітерацій

(1)

Для вектора у₀ утворюємо також за допомогою транспонованої матриці А' другу послідовність ітерацій

(2)

де .

Згідно з теоремою 1 розділу X § 16 в просторі Е_п виберемо два власні базиси  і  відповідно для матриць А і А', що задовольняють умовам біортонормування:

(3)

де  і . Позначимо координати вектора у₀ в базисі  через , а в базисі  — через  тобто

 і

Звідси

(4)

І

()

Складемо скалярний добуток

Звідси через умову ортонормування знаходимо:

(5)

Аналогічно

(6)

Отже, при  маємо:

Таким чином,

(7)

Цей метод особливо зручний для симетричної матриці А, оскільки тоді А'=А, і ми маємо просто

(8)

і, отже, тут потрібно побудувати тільки одну послідовність .

Приклад. Методом скалярних добутків знайти найбільше власне значення матриці

Розв’язання. Оскільки матриця А — симетрична, то досить побудувати лише одну послідовність ітерацій .

Вибираючи за початковий вектор

можна використати результати таблиці 27. Наприклад, при k = 5 і k = 6 маємо:

 і

Звідси

І

Отже,

що співпадає в написаних знаках із значенням, знайденим раніше за допомогою А¹⁰у₀.

Зауваження. Методи знаходження найбільшого по модулю кореня характеристичного рівняння можна використовувати для знаходження найбільшого по модулю кореня алгебраїчного рівняння

(9)

Дійсно, рівняння (9), як легко безпосередньо перевірити, є віковим для матриці

тобто рівняння (9) еквівалентно рівнянню

Якщо рівняння (9) не має нульового кореня, то аналогічним способом може бути визначений найменший по модулю корінь цього рівняння, а саме, при ,вважаючи , одержимо:

(10)

Зворотна величина найбільшого по модулю кореня рівняння (10), очевидно, дасть нам найменший по модулю корінь рівняння (9).

Знаходження другого власного значення матриці і другого власного вектора.

Нехай власні значення  матриці А такі, що

(1)

тобто є два відмінних один від одного, найбільших по модулю власних значення  і  матриці А. У такому разі прийомом, аналогічним розібраному вище (§ 11), можна приблизно знайти друге власне значення  і власний вектор , що відповідає йому.

З формули (2) маємо:

(2)

І

(3)

Виключимо з формул (2) і (3) члени, що містять . Для цього від рівності (3) віднімемо рівність (2), помножену на . В результаті одержимо:

(4)

Введемо позначення

(5)

причому вираз (5) називатимемо - різницею від . Якщо , то очевидно, що перший доданок в правій частині рівності (4) є її головним членом при , і ми маємо наближену рівність

(6)

Звідси

(7)

Нехай

З формул (6) і (7) виводимо:

(8)

Користуючись формулою (8), можна приблизно обчислити друге власне значення . Відмітимо, що на практиці зважаючи на втрату точності при відніманні близьких чисел іноді вигідніше номер ітерації k для визначення  брати меншим, ніж номер ітерації т для визначення , тобто доцільно вважати:

(9)

де k- найменше з чисел, при якому починає позначатися переважання  над наступними власними значеннями. Формула (9), взагалі кажучи, дає грубі значення для . Відмітимо, що якщо модулі всіх власних значень різні між собою, то за допомогою формул, аналогічних формулі (9), можна обчислити і решту власних значень даної матриці. Проте результати обчислень будуть ще менш надійні.

Що стосується власного вектора , те, як витікає з формули (6), можна покласти:

.

(10)

Є розповсюдження даного методу на випадок кратного кореня характеристичного рівняння.

Приклад. Визначити подальші власні значення і власні вектори матриці

Розв’язання. Для знаходження другого власного значення приймемо k = 8. Маємо:

45433 21141 6 201	202833 93906 27 342	905238 417987 121 248

Складаємо - різниці по формулі

де . Для кожного із стовпців приймається своє значення  а саме:  = 4,462;  = 4,456;  = 4,447 (таблиця 2).

Таблиця 2

Обчислення другого власного значення

202833 93906 27 342	202722 94204 27         76	111 – 298 – 234	905238 417987 121 248	905041 418445 121 590	197 – 458 – 342

Звідси одержуємо:

Отже, приблизно можна прийняти:

В якості другого власного вектора можна прийняти:

Нормуючи цей вектор, одержимо:

Оскільки матриця А — симетрична, то вектори  і повинні бути ортогональні між собою. Перевірка дає:

Звідси , що досить неточно.

Третє власне значення  знаходимо по сліду матриці А:

Звідси

.

Власний вектор

можна обчислити з умов ортогональності:

Звідси

Або

Після нормування остаточно отримаємо: