Вычитание (разность)

4.   Вычитание (разность)

Разность множеств А и В есть множество С, элементы которого обладают свойствами множества А и не обладают свойствами множества В или принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

5.   Дополнение

Если имеется некоторое универсальное множество (универсум) U и все рассматриваемые множества есть его подмножества, то дополнением  называется такое множество, элементы которого не входят в А, но принадлежат U.

ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

 

(Диаграммы Эймера, Венна)

1.

 

 

2.

В

А

3.

U

4.

4. ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ А х В

Прямым произведением множеств А и В называется множество М всех пар (), таких, что

Если А=В, то такое произведение называется

Аналогично можно вывести операцию прямого произведения большего числа множеств.

Если в частности одинаковы  то получаем

(Например, множество точек на плоскости являются прямым произведением двух множеств).

Если множества конечные, мощность произведений  равна мощности произведений

5. ОСНОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА АЛГЕБРЫ МНОЖЕСТВ

Независимость расположения:

 (1)

 (2)

Ассоциативность:

 (3)

 (4)

Дистрибутивность:

 (7)

 (8)

 (9)

 (10)

 (11)

 (12)

ЗАКОНЫ де Моргана

6.   ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Основная задача комбинаторики – пересчет и перечисление элементов в конечных множествах.

1.  Если нас интересует, сколько элементов принадлежащих данному конечному множеству обладают некоторым свойством, то это задача пересчета.

2.  Если необходимо выделить все элементы множества, об­ладающие заданными свойствами, то это задача перечисления.

Рассмотрим следующие элементы комбинаторики, позволяющие решать вышеупомянутые задачи. К таким объектам относятся:

-     перестановки (с повторением и без них);

-     размещения (с повторением и без них);

-     сочетания (с повторением и без них);

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок обозначается  (без повторений).

Перестановки с повторениями вычисляются по формуле:

, где  - число повторений элементов каждого вида.

Сочетанием называются такие комбинации элементов, которые отличаются между собой в каждой группе только самими элементами (но не порядком их расположения в группе).

 (без повторения)

 (с повторением)

Размещением называются такие комбинации элементов, которые отличаются между собой или самими элементами или порядком их расположения в группе.

 (без повторения)

 (с повторением)