Методи оптимізації

2.2 Методи оптимізації

Лінійне програмування – це розділ прикладної математики, що має справу з теорією і чисельними методами оптимізації лінійних функцій при наявності обмежень, що описуються кінцевими системами лінійних нерівностей.

Задачами лінійного програмування називають оптимізаційні задачі, що мають такі особливості: 1) Критерій оптимізації являє собою лінійну функцію від невідомих задачі х_1, х₂,.. х_n; 2) обмеження, що накладаються на можливі розв’язки мають тип лінійних рівностей або нерівностей; 3) змінні приймають ненегативні значення.

Перші постановки задач лінійного програмування буди сформульовані відомим радянським математиком Л.В. Канторовичем, якому за ці роботи була присуджена Нобелівська премія по економіці. Значний розвиток теорія й алгоритмічний апарат лінійного програмування одержали з винаходом та поширення ЕОМ і формулюванням американським математиком Дж. Данцингом симплекс-методу.

У наш час лінійне програмування є одним з найбільш вживаних апаратів математичної теорії оптимального ухвалення рішення економічних задач різноманітного змісту. Для розв'язання задач лінійного програмування розроблене складне програмне забезпечення, що дає можливість ефективно і надійно вирішувати практичні задачі великих обсягів. Ці програми і системи мають розвинені системі підготовки вхідних даних, засобами їхнього аналізу і представлення отриманих результатів.

У розвиток і удосконалення цих систем вкладені праця і талант багатьох математиків, акумульований досвід рішення тисяч задач. Володіння апаратом лінійного програмування необхідно кожному економісту, що застосовує у своїй роботі методи прикладної математики.

Термін "програмування", що входить в назву цього метода, не повинен вводити в оману, тому що мова йде не про програмування електронно-обчислювальних машин. Цей термін сходить до загального змісту слова "програма" – план, керівництво до дії и як така, дисципліна "лінійне програмування" являє собою математичну теорію визначення найкращих планів дії у визначених економічних ситуаціях.

Що це за ситуації? У першу чергу їх можна охарактеризувати наявністю однієї добре визначеної мети чи критерію. Вона повинна вимірятися у визначених одиницях і однозначно визначатися обраним планом дій. Більш придатним прикладом може бути доход від діяльності підприємства, а планом дій, у даному випадку, може бути виробнича програма підприємства.

З погляду математики виробничу програму підприємства в першому наближенні можна записати як набір чисел х_1, х₂,.. х_n, де х_і позначає запланований випуск виробів і-го типу, n – кількість типів виробів.

Якщо с_і – доход зробленого виробу і-го типу і кожен зроблений виріб купується по одній і тій же ціні, то сумарний дохід підприємства є простою сумою

, (2.18)

що відбиває присутність терміна "лінійне" у назві "лінійне програмування".

Сума (2.18) є лінійною функцією величин і, звичайно, лише приблизно відбиває економічні реалії. У цьому випадку при збільшенні випуску усіх виробів у тисячі разів, доход підприємства зріс би також у тисячу разів. У реальній економіці при значному зростанні виробництва починають працювати такі фактори як насичення ринку, збільшення конкуренції, зростання виробничих витрат і ін., що, звичайно, знижує прибутковість і не відбувається в такій простій формулі, як (2.18). Зростання масштабів виробництва може не тільки знижувати прибутковість, але й підвищувати її, наприклад при переході від кустарного чи дрібносерійного виробництва до крупносерійного витрати, у розрахунку на один виріб, можуть зменшуватися і відповідно прибутковість підвищиться.

Іншим невід’ємним елементом економічної ситуації, на прикладі де безпосередньо застосуємо підхід лінійного програмування, є обмеження, що накладаються на можливі варіанти планів виробництва. Найчастіше, це ресурсні обмеження, що описують той факт, що: 1) для виробництва товарів приходиться витрачати ресурси; 2) кількість ресурсів, яку можна затратити на виробництво товарів обмежено.

Систему обмежень можна записати як:

, (2.19)

де а_ij– кількість одиниць i-го ресурсу для виготовлення j-го виробу;

b_i– кількість одиниць i-го ресурсу в наявності;

m – кількість ресурсів.

З погляду економіста, застосування лінійного програмування означає, у такий спосіб:

1) визначення структури задачі – що в ній є критерієм, які в ній присутні обмеження, якими змінними величинами ми можемо керувати, у чому полягає бажаний економічний ефект;

2) збір необхідної інформації, часто шляхом статистичних досліджень, аналізу ринку, прогнозів і ін., значень коефіцієнтів задачі;

3) підготовка задачі до рішення. Оскільки зараз це робиться, як правило, за допомогою обчислювальних машин, цей крок у рішенні задачі являє собою перенесення даних і опису задачі у спеціальну форму, що читається. Для цього застосовуються спеціальні формати даних і програмні системи;

4) рішення задачі. Для цього існує безліч високоефективних програм для найрізноманітніших обчислювальних платформ, від суперкомп’ютерів до персональних ЕОМ. Завдяки праці багатьох математиків і програмістів алгоритми і програми доведені до настільки високого ступеня досконалості, що на цій стадії рідко виникають обчислювальні проблеми. Значно частіше на цій стадії виявляються дефекти постановки задачі, помилки у підготовці або в описі структури задачі. Ефект таких помилок є часто дуже несподіваним і їхнє виправлення вимагає як високої математичної кваліфікації, так і знання конкретної області застосування;

5) аналіз результатів. Це заключна і, по суті справи, найбільш важлива частина процесу. Треба мати на увазі, що в ході рішення задачі лінійного програмування, як правило, визначається не тільки власне оптимальний план, але й великий об’єм супутньої інформації, що дуже коштовна для економічного аналізу і планування.

З усього вищенаведеного ясно, що сучасному економісту необхідно добре розбиратися в математичних основах лінійного програмування для того, щоб успішно застосовувати цей могутній апарат економічного аналізу і планування.

Похожие работы

Управління банківськими ризиками (на прикладі ВАТ КБ "Іпобанк")

Скачать

188697

38

21

... і чим вартість активів. Чим більше дисбаланс середньозважених термінів погашення, тим більше чуттєвою буде акціонерний капітал банку до змін процентних ставок. РОЗДІЛ ІІ АНАЛІЗ УПРАВЛІННЯ БАНКІВСЬКИМИ РИЗИКАМИ (НА ПРИКЛАДІ ВАТ КБ “ІПОБАНК”) 2.1 Загальна характеристика діяльності та організації ризик-менеджменту в ВАТ КБ “ІПОБАНК” Відкрите акціонерне товариство Комерційний Банк „Іпобанк” працює ...

Споживче кредитування та його розвиток в Україні

Скачать

225295

29

30

... "Догмат Україна" починає з 2002 року. Саме тоді невелика команда активних молодих менеджерів ухвалила стратегічне рішення про входження на український ринок фінансових послуг для населення. Тоді ж були вивчені національні особливості споживчого кредитування, його специфіка і визначені ключові сегменти для подальшого розвитку компанії. Менше ніж через рік, в 2003, була створена торгова марка "Є ...

Маркетингова діяльність комерційного банку

Скачать

169879

18

17

... -споживач (рис.1.1). Рисунок 1.1 - Основні етапи маркетингової роботи Першим, вихідним моментом, обов'язковим для функціонування ринку, є наявність клієнта з його потребами і продукту (послуги), властивості якого дають змогу їх задовольняти. Це необхідна умова комерційного контакту. Дослідження клієнтів містить: - дослідження і сеґментування клієнтури (ринку); - дослідження потреб; - ...

Активи комерційних банків

Скачать

72029

4

3

... свідчать діаграми, зображені на рис. 5.1.1, при цьому малими банками там вважаються банки з розміром активів до 1,0 млрд дол, відповідно, великими - з активами 1,0 млрд дол і більше. Рис.3.1 Структура кредитного портфеля комерційних банків СІЛА (2001 рік)   Малі банки Великі банки   У документі можуть бути визначені географічні райони, де ба­жана кредитна експансія банку. Залежно від ...