Дії над матрицями

2.         Дії над матрицями

Додавання матриць

Додавання матриць вводиться тільки для матриць одного порядку. Сумою двох матриць  і порядку (m x n) називається матриця , яка має такий самий порядок (m x n), причому кожен елемент матриці  дорівнює сумі відповідних елементів матриць  і :

.

Множення числа на матрицю

Добутком числа  на матрицю  порядку (m x n) називається матриця  порядку (m x n), кожний елемент якої дорівнює добутку числа  на відповідний елемент матриці :

.

Для додавання і множення матриць на число справедливі такі операції:

а)

- комутативний закон додавання матриць;

б)

 - асоціативний закон додавання матриць;

в)

 - асоціативний закон множення чисел на матрицю;

г)

 - дистрибутивний закон множення числа на суму матриць;

ґ)

- дистрибутивний закон множення суми чисел на матрицю.

Добуток матриць

Добуток двох матриць вводиться лише для узгоджених матриць. Дві матриці  і  називаються узгодженими, якщо кількість стовпців першої матриці  дорівнює кількості рядків другої матриці .

Якщо матриці  порядку (m x n) і  порядку (n x p) узгоджені, то добутком цих матриць називається матриця  порядку (m x p), для якої елемент дорівнює добутку кожного елемента і-го рядка матриці  на j-й стовпець матриці .

Взагалі операція множення матриць не комутативна:

.

Квадратну матрицю можна помножити саму на себе, тобто піднести до квадрата.

Для дій над матрицями справедливі такі властивості:

а)

 - асоціативний закон множення матриць;

б)

 - дистрибутивний закон множення матриці на суму матриць;

в)

- комутативний закон множення квадратної матриці  на одиничну матрицю  такого ж порядку.

Транспонування матриць

Матриця ’ називається транспонованою відносно матриці , якщо кожен стовпець матриці ’ є відповідним рядком матриці , тобто перший стовпець матриці ’є першим рядком матриці , відповідно другий стовпець матриці ’ є другим рядком матриці  і т.д.

Для елементів транспонованих матриць виконується умова

.

Якщо квадратна матриця  симетрична, то виконується умова .

Властивості транспонованих матриць:

1.     

2.     

3.     

 

4.     

 

Інвертування матриць

Розглянемо невироджену матрицю n-го порядку:

.

Квадратна матриця  називається невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю, тобто , і виродженою, якщо її визначник дорівнює нулю, тобто .

Квадратна матриця  називається оберненою до квадратної матриці  того ж порядку, якщо їх добуток дорівнює одиничній матриці:

Визначення рангу матриці

Якщо у будь-якій матриці виділити r довільних столбців та r довільних рядків, то з елементів матриці, які містяться на перетині цих рядків і стовпців, можна скласти визначник r-го порядку. Його називають мінором r-го порядку.

Рангом матриці називають число, яке дорівнює найвищому порядку її мінора, відмінного від нуля (rang [A]).

Диференціальне обчислювання в матричній формі

Розглянемо деякі випадкидиференціального обчислювання в матричній формі, які використовуються в економетриці.

1.Похідна від скалярного добутку векторів () по одному з них дорівнює другому:

.

2.Розглянемо добуток , де А – квадратна симетрична матриця порядку n, x – вектор розмірністю n.

або

.

.

3.         Друга частинна похідна по вектору х :

.

2.        Для побудови та аналізу економетричних моделей, а також для прогнозування економічних процесів застосовується ряд професійних пакетів прикладних програм. Такими є пакет STATGRAFICS, SPSS. В рамках лабораторної роботи необхідно поверхньо ознайомитися з призначенням цих пакетів, їх функціональними можливостями та особливостями, а також послідовністю операцій, які виконуються з їх застосуванням.

Завдання для самостійної роботи студентів Завдання 1.1 Згадати правила виконання операцій з матрицями (додавання, множення, транспонування, інвертування, диференціювання). Завдання 1.2

Виконати дії над матрицями:

,

,

,

,

 (E – одинична матриця).

Вихідні дані для розрахунків:

, abc – три останні цифри шифру студента,

.

Лабораторна робота № 2

Тема. Парна лінійна регресія

Мета роботи: навчитися будувати парну лінійну регресійну модель економічних процесів.

Завдання

1. На основі спостережених даних показника Y і фактора X знайти оцінки:

1)     коефіцієнтів кореляції і детермінації;

2)     параметрів лінії регресії .

2. Побудувати ANOVA-таблицю для парної регресії.

3. Використовуючи критерій Фішера, з надійністю P=0.95 оцінити адекватність прийнятої моделі статистичним даним.

4. Розрахувати інші показники якості моделі.

5. Використовуючи t-статистику, з надійністю Р=0.95 оцінити значущість коефіцієнта кореляції.

6. Використовуючи t-статитстику, з надійністю Р=0.95 оцінити значущість параметрів моделі та визначити інтервали довіри для параметрів.

7. Якщо модель адекватна статистичним даним, то знайти:

1)     з надійністю Р=0.95 надійні зони базисних даних;

2)     точковий прогноз показника;

3)     інтервальні прогнози показника та його математичного сподівання.

8. На основі одержаної економетричної моделі зробити висновки.

Хід роботи

1.      1) Коєфіцієнт кореляції є мірою щільності зв’язку між змінними.

Коєфіцієнт кореляції між двома рядами спостережуваних змінних X та Y розраховується за формулою:

Коефіцієнт детермінації дорівнює квадрату коефіцієнта кореляції.

3)   Вводиться гіпотеза, що між фактором Х та показником Y існує лінійна стохастична залежність

 .

Оцінки параметрів та  парної регресіїобчислюються методом 1МНК за формулами:

,

(або

)

,

де n – кількість спостережень.

Для роботи використовується пакет EXCEL. Складається розрахункова таблиця за макетом (табл.2.1) і розраховуються оцінки параметрів:

Таблиця 2.1 Розрахункова таблиця для оцінки параметрів парної лінійної моделі (за формулами (2.1), (2.3))

№ спостереження	X	Y	XY	X2
1	2	3	4	5
1
2
…
n
Сума	x	х
Середнє значення			х	х
Прогнозне значення

Результат розрахунків – вектор параметрів .

2. Для проведення дисперсійного аналізу складається ANOVA-таблиця (табл. 2.2):

Таблиця 2.2

ANOVA-таблиця

Джерело варіації	Кількість ступенів вільності	Сума квадратів	Середні квадрати
Зумовлене регресією (модель)	К-1
Не пояснюване за допомогою регресії (помилка)	n-K
Загальне	n-1		-

У разі парної регресії К=2 – кількість оцінюваних параметрів.

Для розрахунку ANOVA-таблиці розрахункова табл. 2.1 додається такими графами :

Продовження табл. 2.1

№ спостереження		()2		()2	()2
1	6	7	8	9	10
1
2
…
n
Сума			0
Середнє значення	х	Х	0	х	х
Прогнозне значення