Оцінювання середнього та сумарного значення популяції

1.1 Оцінювання середнього та сумарного значення популяції

 

Введемо поняття кластеру. Кластер – це група одиниць популяції, яка розглядається як вихідна одиниця вибірки. Нехай . Популяцію можна розбити на  кластерів, у кожному з яких знаходиться n одиниць. Тоді процедура випадкового відбору систематичної вибірки го порядку така ж сама, як і процедура вибору одного із  кластерів (див. табл. 1.1.1).

Таблиця 1.1.1 Можливі систематичні вибірки го порядку

Страти	Кластер						Середнє страти
	1	2	…	i	…	k
1			…		…
2			…		…
…	…	…	…	…	…	…	…
			…		…
Середнє систематичної вибірки			…		…

Нехай випадкова величина  – середнє значення систематичної вибірки, тобто  з імовірністю  дорівнює значенню , .

Розподіл  має вигляд

~.

 

Теорема 1.1.1. Середнє значення  систематичної вибірки є незміщеною оцінкою для середнього значення популяції .

Доведення.

,

де -ий член -тої систематичної вибірки, , ,

зокрема, дисперсія  дорівнює

.

Теорема доведена.

Теорема 1.1.2. Дисперсія середнього значення систематичної вибірки визначається формулою

 (1.1.1)

Де

є дисперсією одиниць, які належать одній систематичній вибірці (wsy − від англ. within − всередині та systematic − систематичний).

Доведення.

Дисперсія популяції з одиниць визначається формулою

.

Розглянемо тотожність

.

Піднесемо обидві частини рівності до квадрату

.

Підсумуємо праву та ліву частини рівності за  та :

Покажемо, що :

Отже, маємо

,

.

Дисперсія  дорівнює

(обчислена за таблицею розподілу ). Тоді

.

Звідси

,

або, що теж саме,

.

Теорема доведена.

Наслідок. Середнє значення для систематичної вибірки більш точне, ніж середнє для простої випадкової вибірки, тобто

тоді і тільки тоді, коли

. (1.1.2)

Доведення.

Дисперсія середнього значення простої випадкової вибірки дорівнює

.

Тоді з (1.1.1) випливає, що  тоді і тільки тоді, коли

.

Звідси маємо

.

Домножимо обидві частини нерівності на  та праворуч винесемо :

.

Враховуючи, що маємо

,

або,

.

Отже , .

Наслідок доведено.

Таким чином, систематичний відбір точніший, ніж простий випадковий відбір, якщо дисперсія  одиниць систематичних вибірок більша дисперсії  всієї популяції. Систематичний відбір точний, коли одиниці всередині однієї й тієї ж вибірки неоднорідні, та неточний, коли вони однорідні. До цього можна прийти інтуїтивно. Якщо всередині систематичної вибірки варіація у порівнянні з варіацією популяції невелика, то послідовно вибрані одиниці вибірки несуть більш або менш однакову інформацію. Інший вираз для дисперсії наведемо у теоремі 1.1.3.

Теорема 1.1.3.

 

, (1.1.3)

де - коефіцієнт кореляції між парами одиниць, що належать до однієї й тієї самої систематичної вибірки. Цей коефіцієнт визначається за формулою

,

де чисельник є середнім по всім  різним парам, а знаменник – середнє по всім  значенням . Розпишемо чисельник і знаменник:

Підставивши отримані вирази у  отримаємо:

.

Доведення.

Дисперсія середнього значення  систематичної вибірки дорівнює

.

Звідси маємо

.

Отже,

.

Ділимо обидві частини на  і отримуємо вираз для

.

Останній результат показує, що додатна кореляція між одиницями в одній і тій самій вибірці збільшує дисперсію вибіркового середнього. Навіть мала додатна кореляція може мати великий ефект за рахунок множника .

Теорема доведена.

Дві попередні теореми виражали  через дисперсію популяції , тобто співвідносили дисперсію  з дисперсією для простої випадкової вибірки

.

Існує аналог теореми 1.1.3, в якому  виражена через дисперсію стратифікованої випадкової вибірки, де страти складалися з перших  одиниць, других  одиниць і т.п. При позначеннях індекс  при  відповідає номеру страти. Середнє для страти будемо записувати так .

Теорема 1.1.4.

, (1.1.4)

 – дисперсія одиниць, що належать до однієї й тієї самої страти. В знаменнику стоїть , тому що кожна з  страт вносить  ступінь вільності. Величина

.

є коефіцієнтом кореляції між відхиленнями від середнього значення для страти по всім парам одиниць, що належать до однієї й тієї ж систематичної вибірки.

. (1.1.5)

Доведення.

Доведення цієї теореми аналогічно доведенню теореми 1.1.3.

Дисперсія середнього значення  систематичної вибірки дорівнює

Розпишемо середнє значення популяції  через середнє стратифікованої вибірки :

{- це -та одиниця -ї страти}

.

Отже маємо

.

Отже,

.

Теорема доведена.

Наслідок. Якщо , то систематична вибірка має ту саму точність, що й відповідна стратифікована випадкова вибірка з однією одиницею у кожній страті.

Це твердження випливає з того, що для такої стратифікованої випадкової вибірки  дорівнює:

.

Теорема 1.1.5. Дисперсія величини , яка використовується для оцінювання сумарного значення популяції , дорівнює

.

Приклад. У таблиці 1.1.2 наведені данні для невеликої штучної популяції, яка показує тенденцію до досить стійкого зростання значень ознаки у послідовності одиниць. Маємо , , . Кожний стовпчик відповідає деякій систематичній вибірці, а рядки є стратами. Приклад ілюструє ситуацію, коли кореляція «всередині страт» додатна. Наприклад, у першій вибірці кожне з чотирьох чисел (0, 6, 18, 26) менше середнього значення у страті, до якого воно належить. Це справедливо, з невеликим винятком, для перших п’яти систематичних вибірок. В останніх п’яти вибірках відхилення від середніх значень для страт в основному додатне. Таким чином, члени суми у виразі для  переважно додатні. Відповідно до теореми 1.1.4 можна очікувати, що систематичний відбір буде менш точним, ніж стратифікований випадковий відбір з однією одиницею у кожній страті.

Таблиця 1.1.2 Данні по 10 систематичним вибіркам при обсязі вибірок та обсязі популяції

Страта	Номер систематичної вибірки ()
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
I II III IV	0 6 18 26	1 8 19 30	1 9 20 31	2 10 20 31	5 13 24 33	4 12 23 32	7 15 25 35	7 16 28 37	8 16 29 38	6 17 27 38	4,1 12,2 23,3 33,1
	12, 5	14, 75	15, 25	15, 75	18, 75	17, 75	20, 5	22	22, 75	22	72,7
	50	58	61	63	75	71	82	88	91	88

Середнє значення систематичної вибірки має розподіл

 ~

Дисперсія систематичної вибірки дорівнює

Знайдемо середнє та дисперсію для всієї популяції:

Тепер знайдемо дисперсію одиниць, що належать до однієї й тієї самої страти:

,

де - число страт, - обсяг стратифікованої вибірки.

Тоді дисперсія оцінки середнього для простої випадкової вибірки має вид:

,

де - обсяг простої випадкової вибірки.

Дисперсія оцінки середнього для стратифікованої випадкової вибірки

,

де  - число страт.

Стратифікований випадковий відбір та систематичний відбір виявились набагато ефективнішими, ніж простий випадковий відбір, причому, як і очікувалось, систематичний відбір менш точний, ніж стратифікований випадковий відбір.