Формула для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений
Метод «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования
Второй вариант метода «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования
Метод дополнительных краевых условий
Формула для начала счета методом прогонки С.К.Годунова
Второй алгоритм для начала счета методом прогонки С.К.Годунова
Применяемые формулы ортонормирования
Вывод формул, позаимствованный из «Теории матриц» Гантмахера
Навигация
Метод «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования
Методы решения краевых задач, в том числе "жестких" краевых задач
32594
знака
0
таблиц
1
изображение
4 Метод «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования
Метод обсчитан на компьютерах. По нему уже сделано 3 кандидатских физ-мат диссертации.
Метод подходит для любых краевых задач. А для «жестких» краевых задач показано, что метод считает быстрее, чем метод С.К.Годунова до 2-х порядков (в 100 раз), а для некоторых «жестких» краевых задач не требует ортонормирования вовсе. Смотри:
Численный метод переноса краевых условий для жестких дифференциальных уравнений строительной механики
Журнал "ММ", Том: 14 (2002), Номер: 9, 3 стр. 1409-003r.pdf
Полное решение системы дифференциальных уравнений имеет вид
Y(x) = K(x←x
) ∙ Y(x) + Y*(x←x) .
Или можно записать:
Y(0) = K(0←x
) ∙ Y(x) + Y*(0←x) .
Подставляем это выражение для Y(0) в краевые условия левого края и получаем:
U∙Y(0) = u,
U∙[ K(0←x) ∙ Y(x) + Y*(0←x) ] = u,
[ U∙ K(0←x) ] ∙ Y(x) = u - U∙Y*(0←x) .
Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x:
U∙ Y(x) = u ,
где U= [ U∙ K(0←x) ] и u = u - U∙Y*(0←x) .
Далее запишем аналогично
Y(x) = K(x←x
) ∙ Y(x) + Y*(x←x)
И подставим это выражение для Y(x) в перенесенные краевые условия точки x
U∙ Y(x) = u,
U∙ [ K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x) ] = u ,
[ U∙ K(x←x) ] ∙ Y(x) = u - U∙ Y*(x←x) ,
Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x:
U∙ Y(x) = u ,
где U= [ U∙ K(x←x) ] и u = u - U∙ Y*(x←x) .
И так в точку x
переносим матричное краевое условие с левого края и таким же образом переносим матричное краевое условие с правого края и получаем:
U∙ Y(x) = u ,
V∙ Y(x) = v .
Из этих двух матричных уравнений с прямоугольными горизонтальными матрицами коэффициентов очевидно получаем одну систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов:
∙ Y(x) = 
.
А в случае «жестких» дифференциальных уравнений предлагается применять построчное ортонормирование матричных краевых условий в процессе их переноса в рассматриваемую точку. Для этого формулы ортонормирования систем линейных алгебраических уравнений можно взять в [Березин, Жидков].
То есть, получив
U∙ Y(x) = u,
применяем к этой группе линейных алгебраических уравнений построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:
U
∙ Y(x) = u.
И теперь уже в это проортонормированное построчно уравнение подставляем
Y(x) = K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x) .
И получаем
U∙ [ K(x←x) ∙ Y(x) + Y*(x←x) ] = u ,
[ U∙ K(x←x) ] ∙ Y(x) = u - U∙ Y*(x←x) ,
Или получаем краевые условия, перенесенные в точку x:
U∙ Y(x) = u ,
где U= [ U∙ K(x←x) ] и u = u - U∙ Y*(x←x) .
Теперь уже к этой группе линейных алгебраических уравнений применяем построчное ортонормирование и получаем эквивалентное матричное краевое условие:
U
∙ Y(x) = u.
И так далее.
И аналогично поступаем с промежуточными матричными краевыми условиями, переносимыми с правого края в рассматриваемую точку.
В итоге получаем систему линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов, состоящую из двух независимо друг от друга поэтапно проортонормированных матричных краевых условий, которая решается любым известным методом для получения решения Y(x) в рассматриваемой точке x:
∙ Y(x) = 
.
Похожие работы
11612
0
6
... матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются: , где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле: , где . 2. Метод решения жестких краевых задач без ортонормирования – метод сопряжения участков, выраженных матричными экспонентами. Разделим интервал интегрирования краевой задачи, например, на 3 участка. Будем иметь точки (узлы), ...
... . 4. Какие основные факторы нужно определить прежде, чем формировать инвестиционный портфель клиента? 5. Опишите простую структуру инвестиционного портфеля. ВВЕДЕНИЕ РАЗВИТИЕ РЫНКА ЦЕННЫХ БУМАГ В РОССИИ И ЗАДАЧИ РЕГУЛИРОВАНИЯ Рынок ценных бумаг в России начал свое формирование в первой половине 1991 г. после принятия известного Постановления Совета министров РСФСР ¹ 601 от 25 ...
... . А организованная преступность ещё имеет причины общие с неорганизованной преступностью. 3.3 Методы борьбы с организованной преступностью.21 В основе предупреждения организованной преступности лежат общесоциальные и экономические меры.Прежде всего нужны эффективные законы, отвечающие характеру современной преступности. Сегодняшний уголовный закон ...
... на поздних стадиях начинают проявляться ряд факторов объективного, природного характера, осложняющие ситуацию в решении парафиновой проблемы и снижающие эффективность традиционных мероприятий. 3.3 Методы используемые в НГДУ “Нурлатнефть” по предотвращению отложений АСПО 3.3.1 Механические методы борьбы с АСПО и технология работ при их применении Группа механических методов борьбы с ...
0 комментариев