Формула для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений
Метод «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования
Второй вариант метода «переноса краевых условий» в произвольную точку интервала интегрирования
Метод дополнительных краевых условий
Формула для начала счета методом прогонки С.К.Годунова
Второй алгоритм для начала счета методом прогонки С.К.Годунова
Применяемые формулы ортонормирования
Вывод формул, позаимствованный из «Теории матриц» Гантмахера
Навигация
Второй алгоритм для начала счета методом прогонки С.К.Годунова
Методы решения краевых задач, в том числе "жестких" краевых задач
32594
знака
0
таблиц
1
изображение
8 Второй алгоритм для начала счета методом прогонки С.К.Годунова
Этот алгоритм обсчитан на компьютерах в кандидатской диссертации.
Этот алгоритм требует дополнения матрицы краевых условий U до квадратной невырожденной:
Начальные значения Y
(0), Y
(0), Y
(0), Y
(0), Y*(0) находятся из решения следующих систем линейных алгебраических уравнений:
∙ Y*(0) = 
,
∙ Y
(0) = 
, где i = 
, 
, 
, 
,
где 0 – вектор из нулей размерности 4х1.
9 Замена метода численного интегрирования Рунге-Кутта в методе прогонки С.К.Годунова
Эта замена формул Рунге-Кутта на формулу теории матриц обсчитана на компьютерах в кандидатской диссертации.
В методе С.К.Годунова как показано выше решение ищется в виде:
Y(x) = Y
(x) ∙ c + Y*(x).
На каждом конкретном участке метода прогонки С.К.Годунова между точками ортогонализации можно вместо метода Рунге-Кутта пользоваться теорией матриц и выполнять расчет через матрицу Коши:
Y(x
) = K(x- x) ∙Y(x).
Так выполнять вычисления быстрее, особенно для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
И аналогично через теорию матриц можно вычислять и вектор Y*(x) частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений. Или для этого вектора отдельно можно использовать метод Рунге-Кутта, то есть можно комбинировать теорию матриц и метод Рунге-Кутта.
10 Метод половины констант
Этот метод пока не обсчитан на компьютерах.
Выше было показано, что решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений можно искать в виде только с половиной возможных векторов и констант. Была приведена формула для начала вычислений:
Y(0) = М
∙с + 
∙ 
.
Из теории матриц известно, что если матрица ортонормирована, то её обратная матрица есть её транспонированная матрица. Тогда последняя формула приобретает вид:
Y(0) = М∙с + U∙u
или
Y(0) = U∙u + М∙с
или
Y(0) = 
∙ 
,
Таким образом записана в матричном виде формула для начала счета с левого края, когда на левом крае удовлетворены краевые условия.
Далее запишем V∙Y(1) = v и Y(1) = K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) совместно:
V∙ [ K(1←0) ∙Y(0) + Y*(1←0) ] = v
V∙ K(1←0) ∙Y(0) = v - V∙Y*(1←0)
и подставим в эту формулу выражение для Y(0):
V∙ K(1←0) ∙ ∙ = v - V∙Y*(1←0).
V∙ K(1←0) ∙ ∙ = p.
Таким образом мы получили выражение вида:
D ∙ = p,
где матрица D имеет размерность 4х8 и может быть естественно представлена в виде двух квадратных блоков размерности 4х4:
∙ = p.
Тогда можем записать:
D1∙ u + D2 ∙ c = p.
Отсюда получаем, что:
c = D2
∙ ( p - D1∙ u )
Таким образом, искомые константы найдены.
Далее показано как применять этот метод для решения «жестких» краевых задач.
Запишем
V∙ K(1←0) ∙ ∙ = p.
совместно с K(1←0) = K(1←x2) ∙ K(x2←x1) ∙ K(x1←0) и получим:
V∙ K(1←x2) ∙ K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ ∙ = p.
Эту систему линейных алгебраических уравнений можно представить в виде:
[ V∙ K(1←x2) ] ∙ { K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ ∙ } = p.
[ матрица ] ∙ { вектор } = вектор
Эту группу линейных алгебраических уравнений можно подвергнуть построчному ортонормированию, которое сделает строчки [матрицы] ортонормированными, {вектор} затронут не будет, а вектор получит преобразование. То есть получим:
[ V∙ K(1←x2) ] {K(x2←x1) ∙ K(x1←0) ∙ } =p.
И так далее.
В итоге поочередного вычленений матриц слева из вектора и ортонормирования получим систему:
D
∙ = p,
Отсюда получаем, что:
c = D2
∙ (p - D1∙ u)
Таким образом, искомые константы найдены.
Похожие работы
11612
0
6
... матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются: , где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле: , где . 2. Метод решения жестких краевых задач без ортонормирования – метод сопряжения участков, выраженных матричными экспонентами. Разделим интервал интегрирования краевой задачи, например, на 3 участка. Будем иметь точки (узлы), ...
... . 4. Какие основные факторы нужно определить прежде, чем формировать инвестиционный портфель клиента? 5. Опишите простую структуру инвестиционного портфеля. ВВЕДЕНИЕ РАЗВИТИЕ РЫНКА ЦЕННЫХ БУМАГ В РОССИИ И ЗАДАЧИ РЕГУЛИРОВАНИЯ Рынок ценных бумаг в России начал свое формирование в первой половине 1991 г. после принятия известного Постановления Совета министров РСФСР ¹ 601 от 25 ...
... . А организованная преступность ещё имеет причины общие с неорганизованной преступностью. 3.3 Методы борьбы с организованной преступностью.21 В основе предупреждения организованной преступности лежат общесоциальные и экономические меры.Прежде всего нужны эффективные законы, отвечающие характеру современной преступности. Сегодняшний уголовный закон ...
... на поздних стадиях начинают проявляться ряд факторов объективного, природного характера, осложняющие ситуацию в решении парафиновой проблемы и снижающие эффективность традиционных мероприятий. 3.3 Методы используемые в НГДУ “Нурлатнефть” по предотвращению отложений АСПО 3.3.1 Механические методы борьбы с АСПО и технология работ при их применении Группа механических методов борьбы с ...
0 комментариев