Формула для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений

3 Формула для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений

Эта очень простая формула еще не обсчитана на компьютерах. Вместо неё обсчитывалась значительно ранее выведенная и гораздо более сложная формула, приведенная в:

Численный метод переноса краевых условий для жестких дифференциальных уравнений строительной механики Журнал "ММ", Том: 14 (2002), Номер: 9, 3 стр. 1409-003r.pdf

Вместо формулы для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений в виде [Гантмахер]:

Y*(x←x) = e∙ e∙ F(t) dt

предлагается использовать следующую формулу для каждого отдельного участка интервала интегрирования и тогда вектор частного решения на всем интервале будет складываться из векторов, вычисленных по формуле:

Y*(x←x) = Y*(x- x) = K(x- x) ∙K(x- t) ∙ F(t) dt .

Правильность приведенной формулы подтверждается следующим:

Y*(x- x) = e∙e∙ F(t) dt ,

Y*(x- x) = e∙e∙ F(t) dt ,

Y*(x- x) = e∙ F(t) dt ,

Y*(x- x) = e∙ F(t) dt ,

Y*(x- x) = e∙ e∙ F(t) dt ,

Y*(x←x) = e∙ e∙ F(t) dt,

что и требовалось подтвердить.

Вычисление вектора частного решения системы дифференциальных уравнений производиться при помощи представления матрицы Коши под знаком интеграла в виде ряда и интегрирования этого ряда поэлементно:

Y*(x←x) = Y*(x- x) = K(x- x) ∙K(x- t) ∙ F(t) dt =

= K(x- x) ∙ (E + A(x- t) + A (x- t)/2! + … ) ∙ F(t) dt =

= K(x- x) ∙ (EF(t) dt + A∙(x- t) ∙ F(t) dt + A/2! ∙(x- t) ∙ F(t) dt + … ) .

Эта формула справедлива для случая системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей коэффициентов A=const.

Для случая переменных коэффициентов A=A(x) можно использовать прием разделения участка (x- x) интервала интегрирования на малые подучастки, где на подучастках коэффициенты можно считать постоянными A(x)=const и тогда вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений Y*(x←x) будет на участке складываться из соответствующих векторов подучастков, на которых матрицы Коши приближенно вычисляются при помощи формул с постоянными матрицами в экспонентах.

Похожие работы

Методы решения краевых задач, в том числе «жестких»

11612

0

6

... матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются: , где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле: , где . 2. Метод решения жестких краевых задач без ортонормирования – метод сопряжения участков, выраженных матричными экспонентами. Разделим интервал интегрирования краевой задачи, например, на 3 участка. Будем иметь точки (узлы), ...

Современный этап развития рынка ценных бумаг в России и задачи регулирования

Скачать

822830

27

10

... . 4. Какие основные факторы нужно определить прежде, чем формировать инвестиционный портфель клиента? 5. Опишите простую структуру инвестиционного портфеля. ВВЕДЕНИЕ РАЗВИТИЕ РЫНКА ЦЕННЫХ БУМАГ В РОССИИ И ЗАДАЧИ РЕГУЛИРОВАНИЯ Рынок ценных бумаг в России начал свое формирование в первой половине 1991 г. после принятия известного Постановления Совета министров РСФСР ¹ 601 от 25 ...

Определение наиболее эффективных форм и методов организованной преступности

Скачать

101882

0

0

... . А организованная преступность ещё имеет причины общие с неорганизованной преступностью. 3.3 Методы борьбы с организованной преступностью.21 В основе предупреждения организованной преступности лежат общесоциальные и экономические меры.Прежде всего нужны эффективные законы, отвечающие характеру современной преступности. Сегодняшний уголовный закон ...

Эффективность методов борьбы с асфальтосмолистыми парафиновыми отложениями в условиях НГДУ Нурлатнефть

Скачать

107713

13

0

... на поздних стадиях начинают проявляться ряд факторов объективного, природного характера, осложняющие ситуацию в решении парафиновой проблемы и снижающие эффективность традиционных мероприятий.   3.3 Методы используемые в НГДУ “Нурлатнефть” по предотвращению отложений АСПО   3.3.1 Механические методы борьбы с АСПО и технология работ при их применении Группа механических методов борьбы с ...